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Astronomie:
Compléments de Mathématiques
L'ellipse en coordonnées catrésiennes et
coordonnées polaires



1. Construction d'une l'ellipse



Une ellipse est un lieu géométrique défini par

dist (P,F) + dist(P,F') = 2a

P est un point sur la courbe.
F and F' sont les deux foyers de l'ellipse. Un foyer est le centre de force d'une force centrale.
dist désigne la distance entre deux points considérés.
La distance focale c est la distance entre le centre de l’ellipse O et un des foyers.



2. L'ellipse coordonnées cartésiennes

Partons de l'équation de définition ci-dessus pour trouver l'expression cartésienne de l'ellipse.

√[(c - x)2 + (0 - y)2 ] + [(- c - x)2 + (0 - y)2]1/2 = 2a

[(c - x)2 + y2 ]1/2 + [(- c - x)2 + y2 ]1/2 = 2a
[c2 - 2cx + x2 + y2]1/2 = 2a - [c2 + 2cx + x2 + y2]1/2
c2 - 2cx + x2 + y2 =
4a2 - 4a [c2 + 2cx + x2 + y2]1/2 + c2 + 2cx + x2 + y2

a [c2 + 2cx + x2 + y2]1/2 = a2 + cx
a2 [c2 + 2cx + x2 + y2] = a4 + 2cx a2 + c2x2
a2 [c2 + x2 + y2] = a4 + c2x2
a2 [ x2 + y2] - c2x2 = a2[a2 - c2]

x2[a2 - c2] + a2 y2] = a2[a2 - c2]
x2 b2 + a2 y2 = a2b2

Donc:

x2/ a2 + y2/ b2 = 1

C'est l'équation d'une ellipse en coordonnées cartésiennes.



2. L'ellipse coordonnées polaires

2.1. L'excentricité de l'ellipse




L' excentricité "e" d'une conique est défini pa le rapport:

e = dist(P,F)/dist(P,L)

Appliqué au point P = A, et au puis au point P = A', donne:

e = dist(A, F)/dist(A,L)
e = (a - c)/(do - a)   (1)

e = dist(A',F)/dist(A',L)
e = (a + c)/(do + a)   (2)


Additionnons(1) avec (2), on obtient

edo - ea = a - c
edo + ea = a + c

2edo = 2a. Donc e = a/do

e = a/do

Soustrayons (2) de (1), on obtient :

- 2 ea = - 2c. Donc e = c/a

e = c/a = a/do avec: 0 < e < 1

Nous avons aussi

d = do - c = a/e - ae = a( 1/e - e) = (a/e)(1 - e2). D'òu:

ed = e(a/e)(1 - e2) = a(1 - e2)

p = ed = a(1 - e2)



2.2. L'équation polaire d'une ellipse


La loi d'Al-Kashi (loi des cosinus) donne:

PF2 = ro2 + c2 - 2roc cosθo

Nous avons:

PL = do - ro cosθo

dist(P,F) = e dist(P,L), donne :
√[ro2 + c2 - 2ro c cosθo] = e(do - ro cosθo)

[ro2 + c2 - 2ro c cosθo]1/2 = e(do - ro cosθo)
ro2 + c2 - 2ro c cosθ o = e2do2 + e2 ro2 cos2 θo - 2 rodoe2 cosθo
ro2[1 - e2 cos2 θo] + 2ro cosθo [ doe2 - c] + c2 - e2do2 = 0
Or edo = a, ae = c, et b2 = a2 - c2 Donc:
ro2[1 - e2 cos2θo] = b2
ro = b/[1 - e2 cos2θo]1/2

ro = b/[1 - e2 cos2θo]1/2 =
[(a2 - c2)/(1 - e2 cos2 θo)]1/2


Pour simplifier, on prend Le foyer F comme origine des coordonnées. Nous avons donc:

c = 0 et d = do

r = dist(F,P) = e dist(P,L)


dist(P,L) = d - r cos θ. Donc

r = e [d - r cos θ ]
r [1 + e cos θ] = ed
r = e d /[1 + e cos θ ]


L'équation d'une ellipse en coordonnées polaires est donc:

r = p/(1 + e cosθ) =
a(1 - e2)/(1 + e cosθ)


Avec

p = ed = a(1 - e2)

e est l'excentricité de l'ellipse et d est la distance entre la directrice est le foyer de l'ellipse.



2.3. Résumé: paramètres d'une ellipse

Excentricité \(e\)

\(e = \dfrac{c}{a}\).

Demi grand-axe \(a\)

\(a = \dfrac{p}{1-e^2}\)

Demi petit-axe \(b\)

\( b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - (a e)^2 = a^2 - a^2e^2 = \; a^(1 - e^2) = ap \\ b = \sqrt{ap} \)

Distance focale \(c\)

\(c = ae = \dfrac{p\,e}{1-e^2}\)

Demi-petit axe \(b\)

Noua avons: \(a^2 = b^2 + c^2\)

\(b^2 = a^2 - c^2 = \dfrac{p^2}{(1-e^2)^2} - \dfrac{p^2e^2}{(1-e^2)^2} = \dfrac{p^2}{1-e^2}\)

D’où :

\(b = \dfrac{p}{\sqrt{1-e^2}} = a\,\sqrt{1-e^2} = \sqrt{ap}\)








  

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