Mathématiques :
Les baccalauréats
Bac S 2007 Amérique du nord corrigé

Corrigé du bac Mathématiques
S 2007 Amérique du nord

EXERCICE III : 5 points
Commun à tous les candidats

1. Représentons un arbre :

X est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

a. X peut prendre les valeurs 0, 1 , 2 ou 3.

b. (X = 2) = (E1 E2 3) (E12 E3) (1E2E3).

C’est une réunion d’évènements incompatibles.

Donc :

p(X = 2) = p(E1E23) + p(E12 E3) + p(1E2E3) =

(0.2 x 0.1 x 0,9) + (0.2 x 0.9 x 0.05) + (0.8 x 0.05× x 0.1) = 0.031.

p(X = 2) = 0.031

De même :

p(X = 3) = p(E1E2E3) = 0.2 x 0.1 x 0.1 = 0.002 .

p(X = 3) = 0.002

c. p(X = 0) = p(1 2 3 = 0.8 x 0.95 x 0.95 = 0.722 .

p(X = 0) = 0.722

p(X = 1) = 1 - [p(X = 0)+ p(X = 2)+ p(X = 3)] = 1 - (0.722 + 0.031 + 0.002) = 0.245 .

p(X = 1) = 0.245

On en déduit la loi de probabilité de X, résumée dans le tableau suivant :

xi 0 1 2 3

p(X = xi) 0.722 0.245 0.,031 0.002

d. L’espérance de X est E(X) = Σ(i=0,3)xi p(X = xi)
= (0 x 0.722) + (1 x 0.245) + (2 x 0.031) + (3 x 0.002) = 0.313.

E(X) = 0.313

2. a. Pour tout n non nul, p(EnEn+1) = pEn(En + 1) x p (En) = 0.1 x p (En) = 0.1pn .

p (EnEn+1) = 0 .1pn

De même : p(nEn+1) = pn(En + 1) x p (n)
= 0.05 x (1 - p(En)) = 0.05(1 - pn)

p(nEn+1) = 0.05(1 - pn)

b. On a :
En+1 = (EnEn+1)(n En+1)
C'est une réunion d’évènements incompatibles.
Par conséquent :

pn+1 = p(En+1) = p(EnEn+1) + p(n En+1) =
0.1 pn +0.05(1 - pn) = 0.05 pn + 0.05.

pn+1 = 0.05 pn + 0.05

3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = pn - 1/19.

a. Pour tout n ≠ 0, un+1 = pn + 1 - 1/19
= 0.05 pn + 0.05 - 1/19 = (1/20)(pn - 1/19) = (1/20) un·

un+1 = (1/20) un ·

Pour tout n ≠ 0, un+1 = (1/20) un· Donc (un) est une suite géométrique, de raison q = 1/20 et de premier terme u1 = p1 - 1/19 0.2 - 1/19 = 14/95.

q = 1/20 et u1 = 14/95

b. On en déduit : un = u1 q^n-1 donc

un = (14/95)(1/20)^n-1 et
pn = un + 1/19 1/19 + (14/95)(1/20)^n-1

c. Nous avons: -1 < 1/20 < 1 , donc

lim (1/20)^n-1 = 0
n → ∞

et par conséquent :

lim pn = 1/19
n → ∞