Mathématiques :
Courbes planes paramétrées

Courbe paramétrée: exemple 7
Courbe polaire
Cardioïde

Cardioïde

On considère la courbe définie par ses équations paramétrées:

x(t) = 2cos(t) - cos(2t)
y(t) = 2sin(t) - sin(2t)

• Domaine de définition:

Les fonctions x et y sont définies sur R.

• Période:

Les fonctions sin t et cost sont de périodes 2π et les fonctions sin 2t et cos 2t de période π. Une période commune est donc 2pi;. On étudie la courbe sur un intervalle de longueur 2pi;.

• Réduction du domaine d’étude:

Selon la parité des fonctions, on prend l’intervalle Io = [ - π, π].

On a:

x(-t) = x(t) et y(-t) = -y(t).

La courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox. On l’étudie sur I = = [ 0, π], et on complètera par la symétrie S1 par rapport à Ox.

• Dérivées:

En utilisant les formules:

sin p - sin q = 2 sin(p - q)/2 cos(p + q)/2 et
cos p - cos q = 2 sin(p + q)/2 sin(q - p)/2

on obtient:

x'(t) = 2(sin 2t - sin t) = 4 sin (t/2) cos(3t/2) et
y'(t) = 2(cost - cos 2t) = 4 sin(t/2) sin(3t/2)

La fonction x' s’annule dans I en 0, π/3 et π et la fonction y' en 0 et 2π/3.

• Point singulier:

La courbe admet un point singulier pour t = 0.

Comme on a y'(t)/x'(t) = tan(3t/2),

cette expression tend vers 0 en 0. La courbe est tangente à l’axe Ox et par symétrie, le point de coordonnées (1, 0) est un point de rebroussement de première espèce

• Tableau de variation:



• Tracé de la courbe:

On trace l’arc de courbe obtenu lorsque t varie de 0 à π, puis on complète par la deux symétrie.



• Gnuplot code:

clear
set border
set xtics 0.5
set ytics 0.5 
set xrange [-4:4]
set yrange [-4:4]
set grid
set xzeroaxis lt 2 lw 2
set yzeroaxis lt 2 lw 2
set style line 1 lw 3 
set title "Cardioide"
set xlabel "x "
set ylabel "y "
set parametric
set size square
set grid 
plot [0:2*pi] 2*cos(t) - cos(2*t), 2*sin(t) - sin(2*t)