Mathématiques 2: Equations

Une équation est écriture mathématique d'un problème pour lequel on cherche des solutions.

1. Equations

1.1. Définitions

Une équation est une égalité qui comporte des nombres et surtout une ou plusieurs inconnues. Les inconnues sont décrites par des lettres x, y, z, etc...

Si une équation comporte juste une inconnue, on dit que c'est une equation à une inconnue. On aura de même une equation à deux ou plusieurs inconnues si l'équation comporte deux ou plusieurs inconnues.

Si dans l'équation, l'inconnue, par exemple x, n'est pas élevé au carré (x²), ou au cube (x³), ou une autre puissance plus grande que 1, on dit que l'équation est une équation du premier degré.

Par exemple:
3 x - 1 = 8
est une équation du premier degré.

Ici nous étudierons juste les equations du 1er degré.

Si, pour un même problème, nous avons plusieurs inconnues dans plusieurs equations, on rassemble toutes ses equations dans un system à résoudre.

Par exemple:
2 x - y = - 7
x + 3y = 0
est un système de deux équations à deux inconnues x et y.

1.2. Équations équivalentes

1. En ajoutant ou en retranchant un MEME nombre aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente qui donnera exactement les mêmes solutions.

Exemple :

2 x - 3 = 7

On ajoute 16 à chaque membre. On obtient:
2 x - 3 + 16 = 7 + 16
C'est à dire:
2 x + 13 = 23
qui est une équation équivalente.

Pour une équation, il ya une infinité d'équations équivalentes. La plus interessante est celle qui mène directement à la solution de l'équation.

Pour l'exemple:
2 x - 3 = 7 ,
L'équation équivalente qui s'approche de la solution est
2 x - 3 + 3 = 7 + 3
pour avoir:
2 x = 10

2. En multipliant ou en divisant par un MÊME nombre différent de 0, les deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente qui donnera exactement les mêmes solutions.

Pour l'exemple:

2 x = 10

On divise par 33 chaque membre.On obtient:

2x/33 = 10/33
qui est une équation équivalente.

Pour une équation, il ya une infinité d'équations équivalentes. La plus interessante est celle qui mène directement à la solution de l'équation.

Pour l'example:
2 x = 10
L'équation équivalente qui s'approche de la solution est
2 x / 2 = 10 /2
pour avoir:
x = 5
qui est la solution cherchée.

2. Exercices

2.1. Exercice 1

Donner quatre équations équivalentes de l'équation suivante:

8 x + 6 = 38

a) En additionnant un même nombre,
b) En soustrayant un même nombre,
c) En multipliant par un même nombre,
d) En divisant par un même nombre non null.

Trouver l'équation la plus simple et résoudre l'équation.