Mathématiques 2: Algèbre:
Inégalités et encadrement

1. Définitions

Il existe quatre symboles pour exprimer l'’inégalités entre deux nombres réels a et b:

(1) a > b
(2) a ≥ b
(3) a < b
(4) a ≤ b

• Comme une égalité, une inégalité possède un membre de gauche et un membre de droite.

• Comme une proposition, une inégalité peut être vraie ou fausse.

• Deux inégalités sont équivalentes si l'une provient de l'autre par une ou plusieurs opérations logiques. On utilise le symbole d'équivalence suivant: ⇔

2. Propriétés:

Toutes les propriétés ci-dessous sont valable pour les 4 types inégalités : >, ≥, <, et ≤:

Propriété 1:

∀ a, b, c ∊ ℝ
a > b ⇔ a + c > b + c
a > b ⇔ a - c > b - c

En ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres d’une inégalité on obtient une inégalité équivalente.

Propriété 2:

∀ a, b, ∊ ℝ c > 0:
a > b ⇔ a x c > b x c
a > b ⇔ a ÷ c > b ÷ c

En multipliant ou en divisant les deux membres d’une inégalité par un même nombre réel strictement positif on obtient une inégalité équivalente.

Propriété 3:

∀ a, b, ∊ ℝ c < 0:
a > b ⇔ a x c < b x c
a > b ⇔ a ÷ c < b ÷ c

En multipliant ou en divisant les deux membres d’une inégalité par un même nombre réel strictement négatif on obtient une inégalité équivalente en changant le sens de linégalité.

3. Encadrements

1. Définitions

Soient a, b et x trois nombres réels tels que a ≤ x ≤ b.

Cette double inégalité est appelée encadrement de x par les nombres a et b. La différence b - a est appelée amplitude de cet encadrement. Cette amplitude exprime la précision de l'encadrement.

2. Addition de deux encadrements quelconques

∀ a, b, c, d ∊ ℝ :
(a ≤ b et c ≤ d ) ⇒ a + c < b + d

La réciproque n'est pas nécessairement vraie.

Plus généralement:

∀ a, b, c, d, x, y ∊ ℝ :
(a ≤ x ≤ b et c ≤ x ≤ d) ⇒ a + c < x + y ≤ b + d

∀ a, b, c, d, x, y ∊ ℝ :
(a ≤ x ≤ b et c ≤ x ≤ d) ⇒ a - d < x - y ≤ b - c

3. Multiplication de deux encadrements positifs

∀ a, b, c, d ∊ ℝ⁺ :
(a ≤ b et c ≤ d) ⇒ a x c < b x d

La réciproque n'est pas nécessairement vraie.

Plus généralement:

∀ a, b, c, d, x, y ∊ ℝ⁺ :
(a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d) ⇒ a . c < x . y ≤ b . d

La réciproque n'est pas nécessairement vraie.

4. Puissance d’un encadrement positif

∀ n ∊ ℕ^*
∀ a, b, x ∊ ℝ⁺ :
(a ≤ x ≤ b) ⇔ aⁿ < xⁿ ≤ bⁿ

4. Racine carrée d’un encadrement positif

∀ a, b ∊ ℝ⁺:
(a ≤ b) ⇔ √a ≤ √b

Plus généralement:

∀ a, b, x ∊ ℝ⁺ :
(a ≤ x ≤ b) ⇔ √a < √x ≤ √b

5. Inverse d’un encadrement positif

∀ a, b ∊ ℝ , a et b > 0:
(a ≤ b) ⇔ 1/a ≥ 1/b

Plus généralement:

∀ a, b, x ∊ ℝ, a , b et x > 0:
(a ≤ x ≤ b) ⇔ 1/a ≥ 1/x ≥ 1/b

6. Division de deux encadrements positifs

∀ a, b, c, d, x, y ∊ ℝ^{+ *} :
(a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d) ⇔ a/d < x/y ≤ b/c .