Mathématiques 45: Algèbre:
factorisations
Binôme de Newton

1. Binôme de Newton

Nous connaissons les identités remarquables:

(a + b)² = a² + 2ab + b², et
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³,

que l'on utilise dans une multitude de cas.

Mais développer (a + b)⁴ ou plus est beaucoup trop long.

Il existe cependant une formule générale permettant de développer (a + b)ⁿ , quelque que soit l'entier naturel n. Cette formule est dite le binôme de Newton:

$$\Large\bf\color{brown}{ (a + b)^n = \sum_{k = 0}^{k = n} {n \choose k} a^k \; b^{n - k} }$$
$\large{ C(k,n) = {n \choose k}}$ est la nombre de combinaisons possibles de choisir k entiers parmi n.

$$\large\color{blue}{ C(k,n) = {n \choose k}= \frac{n!}{{k} ! {(n - k)}!} }$$
Comme a + b = b + a , alors

$$\large\color{brown}{ (a + b)^n = \sum_{k = 0}^{k = n} {n \choose k} b^k a^{n - k} }$$

2. Triangle de Pascal

Les facteurs des ternes dans le binôme forme un triangle appelé triangle de Pascal. On passe d'un facteur à l'autre en utilisant la formule:

$$\large\bf\color{red}{ C(k,n) = (k - 1, n - 1) + C(k , n - 1) }$$
Ce triangle est un algorithme (suite d'opérations élémentaires conduisant à un résultat) simple permettant de calculer de proche en proche, les facteurs des termes du binôme développé, uniquement à l’aide d’additions.

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
...

3. Exercices

Calculer:

(a + b)⁵
(a + b)⁶
(a + b)⁷