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Maths
- 2 -



© The scientific sentence. 2010


Mathématiques 2: Fonctions rationnelles



1. Fonction rationnelle de base

La fonction rationnelle de base  est la fomction 
qui correspond à une situation de proportionnalité 
inverse. Elle s'ecrit:

          f(x) = 1/x 

Son graphe est:



La fonction rationnelle de base est une fonction 
discontinue en 0. Son domaine est R\{0} ou R* 
et son codomaine est aussi R*. Elle possède 
deux axes de symétrie qui sont des droites d1 d'équation 
y = x et d2 d'équation y = - x. 

2. Fonction homographique

Une fonction rationnelle de la forme 

       y = (a x + b)/(c x + d) 


ou de la forme transformée:

       y = a/b(x - h)  + k


est dite fonction homographique.

Le graphique de cette fonction possède deux 
séparations:

La droite verticale correspond à la valeur qui annule 
le dénominateur .

La droite horizontale correspond à la valeur 
de y lorsque x tend vers l’infini. 

Ces deux droites sont appelées des asymptotes. 
La courbe s’approche de plus en plus de la droite 
asymptotique lorsque x se rapproche de l’infini sans 
jamais l’atteindre ni la traverser.


Le domaine de définition de la fonction 
homographique Dom = R\{h}. Son codomaine 
est Codom = R\{k}

3. Exemple:

y = 2/(x - 3)  + 4 

h = 3, k = 4, Dom = R\{3}, Codom = R\{4}.

La droite d'équation x = 3 est l'asymptote 
verticale.

La droite d'équation y = 4 est l'asymptote 
horizontale.

Son graphique est:



4. Equations et Inéquations

Exemple 1



f(x) = 7/(x - 3) ≥ 4

i) si x - 3 > 0 ou x > 3 , a;ors 

7 ≥ 4 . (x - 3)

7 ≥ 4 x - 12

4 x ≤ 19 

x ≤ 19/4   

Ainsi : Il faut que x ≤ 19/4 avec x > 3  

l'ensemble des solutions est S1 = ]3, 19/4]




2) si x - 3 < 0 ou x < 3 , alors

7 ≤ 4 . (x - 3)

7 ≤ 4 x - 12

4 x ≥ 19 



x ≥ 19/4   

Ainsi : Il faut que x ≥ 19/4 avec x < 3 , 
ce qui est impossible: S = Φ

L'ensemble des solution de l'inégalité donnée est 
S = S1 ∪ S2 = ]3, 19/4] ∪ Φ = ]3, 19/4]



S = ]3, 19/4]


Exemple 2

(x + 2)/(3 x - 4) ≥ 3 x - 8 

1) 3 x - 4 > 0 ou x > 4/3 : 

x + 2 ≥ (3 x - 8)(3 x - 4)

x + 2 ≥ 9x2 -12 x -24 x + 32

0 ≥ 9x2 - 37 x + 30

0 ≥ 9(x - 10/9)(x - 3)

Le coefficient 9 de x2 est positif, Ce 
trinôme est  negatif à l'interieur des racines 
x1 = 3 et x2 = 10/9, c'est à dire dans 
l'intervalle [10/9, 3]. 

10/9 = 1.111, 4/3 = 1.333 , donc 4/3 > 10/9



Avec x > 4/3, on a:
L'ensemble des solutions est S1 = ]4/3, 3]. 

2) 3 x - 4 < 0 ou x < 4/3 : 

x + 2 ≤ (3 x - 8)(3 x - 4)

x + 2 ≤ 9x2 -12 x -24 x + 32

0 ≤ 9x2 - 37 x + 30

0 ≤ 9(x - 10/9)(x - 3)

Le coefficient 9 de x2 est positif, Ce 
trinôme est positif à l'extérieur des racines 
x1 = 3 et x2 = 10/9, c'est à dire dans 
l'intervalle ]- ∞, 10/9] ∪ [3, + ∞[ . 



Avec x < 4/3, on a:
L'ensemble des solutions est S2 = ]- ∞, 10/9] . 

Ainsi,
L'ensemble des solution de l'inégalité donnée est 
S = S1 ∪ S2 = ]4/3, 3] ∪ ]- ∞, 10/9] =  
]- ∞, 10/9] ∪ ]4/3, 3].



Exemple 3



(2x - 9)/(11 x + 3) > 12

1) 11 x + 3 > 0, x > - 3/11

2x - 9 > 12 (11 x + 3) 
2x - 9 > 132 x + 36 
0 > 130 x + 45 
0 > 26 x + 9 
 x < - 9/26 

- 9/26 = - 0.35, - 3/11 = - 0.27, donc: - 9/26  < - 3/11 

Pas de solutions: S1 = Φ




2) 11 x + 3 < 0, x < - 3/11

2x - 9 < 12 (11 x + 3) 
2x - 9 < 132 x + 36 
0 < 130 x + 45 
0 < 26 x + 9 
 x > - 9/26 

L'ensemble des solutions est : S2 = [-9/26, -3/11[




Ainsi,
L'ensemble des solution de l'inégalité donnée est 
S = S1 ∪ S2 = Φ ∪ [-9/26, -3/11[ =  
[-9/26, -3/11[.



Exemple 4


- 3 ≤ (3 x - 1)/4x ≤ 9 

Nous avons deux inequations: 

- 3 ≤ (3 x - 1)/4x     (1)
(3 x - 1)/4x ≤ 9     (2)

1) Equation (1):
a) x > 0 : - 12x ≤ 3 x - 1, 1 ≤ 15 x, x ≥ 1/15 
b) x < 0 : - 12x ≥ 3 x - 1, 1 ≥ 15 x, x ≤ 1/15

S1 = ]- ∞, 0] ∪ [1/15, +∞[



2) Equation (2):
a) x > 0 : 3 x - 1 ≤ 36x  - 1 ≤ 33 x , x ≥ - 1/33 
b) x < 0 : 3 x - 1 ≥ 36x  - 1 ≥ 33 x , x ≤ - 1/33 

S2 = ]- ∞, -1/33] ∪ [0, +∞[



Ainsi,
L'ensemble des solution de l'inégalité donnée est 
S = S1 ∩ S2 = ]- ∞, 0] ∪ [1/15, +∞[  ∩ ]- ∞, -1/33] ∪ [0, +∞[ = 
 ]- ∞, - 1/33]∪ [1/15, +∞[.

 

Exemple 5

(5x + 7)/(- 9x + 7) < x - 8

1) - 9x + 7 > 0, - 9x > -7,  9x < 7,  x < 7/9

5x + 7 < (x - 8)(- 9x + 7)

5x + 7 < - 9x2 + 7x + 72 x - 56
 0 < - 9x2 + 74 x - 63
 
 0 > 9x2 - 74 x + 63    (Inéqu. 1)
 
Δ' = (- 37)2 - (9)(63) = 1369 - 567 = 802 
= (28.32)2

x1 = (37 - 28.32)/9 = 0.96
x2 = (37 + 28.32)/9 = 7.26 

Le coefficient du trinôme 9x2 - 74 x + 63 
est positif. Ce trinôme est < 0 à l'intérieur des 
racines, c'est à dire dans ]0.96, 7.26[. Avec la 
contrainte x < 7/9 = 0.78 , l'ensemble des 
solutions de l'inéquation (Inéqu. 1) est S1 = Φ.



2) x > 7/9
5x + 7 > (x - 8)(- 9x + 7)

 0 < 9x2 - 74 x + 63    (Inéqu. 2)
 
 Le coefficient du trinôme 9x2 - 74 x + 63 
est positif. Ce trinôme est > 0 à l'extérieur des 
racines, c'est à dire dans ]- ∞, 0.96[ ∪ ] 7.26, + ∞[. 
Avec la contrainte x > 7/9 = 0.78 , l'ensemble 
des solutions de l'inéquation (Inéqu. 2) est 
S2 = ]- 7/9, 0.96[ ∪ ]7.26, + ∞[.



Ainsi,
L'ensemble des solution de l'inégalité donnée est 
S = S1 ∪ S2 = S2 = ]- 7/9, 0.96[ ∪ ]7.26, + ∞[.

Exemple 6

(x + 6)/(3x + 7) ≥ (- 4x + 1)/(5x)

(x + 6)/(3x + 7) - (- 4x + 1)/(5x) ≥ 0

[(5x)(x + 6) + (3x + 7)(4x - 1)]/(5x)(3x + 7) ≥ 0 

(17 x2 + 55 x - 7)/(5x)(3x + 7) ≥ 0

Δ = (55)2 -  4 (17)(-7) = (59.2)2
x1 = (- 55 - 59.2)/34 = - 3.36
x2 = (- 55 + 59.2)/34 =  0.11 

(17 x2 + 55 x - 7) = 17(x + 3.36 )(x - 0.11)


L'inéquation devient: 

f(x) = 17(x + 3.36 )(x - 0.11)/(5x)(3x + 7) ≥ 0 

- 7/3 = - 2.33



S = ]- ∞, -3.36 ] ∪ ]- 7/3, 0[ ∪ [0.11, + ∞[.

Exemple 7

10 ≤ (3 x + 4)/(x2 + 5 x)

0 ≤ (3 x + 4)/(x2 + 5 x) - 10 = 
(3 x + 4 - 10 x2 - 50 x)/(x2 + 5 x) = 
(- 10 x2 - 47 x + 4)/(x2 + 5 x)

L'inéquation devient:

0 ≤ (- 10 x2 - 47 x + 4 )/(x2 + 5 x), ou 

0 ≥ (10 x2 + 47 x - 4)/(x2 + 5 x) = f(x)

Pour le trinôme: 10 x2 + 47 x - 4
Δ = (47)2 - 4 (10) (- 4) = (47)2 + 160 = 2369 =  
(48.67)2
Les racines sont:
x1 = (- 47 - 48.67)/20 = - 4.8
x2 =  (- 47 + 48.67)/20 = + 0.08

Pour x2 + 5 x = x(x + 5)
Les racines sont:
x3 = 0 
x4 = - 5



On veut que f(x) soit négative, donc 

l'ensembles des solutions de l'inéquation 
donnée est : 

S = ]- 5, -4.8] ∪ ]0, 0.08].

Exemple 7


(12 x + 8)/(3 - 5 x) ≥ |2x - 7| + 1    (1)

L'équation (1) peut s'ecrire:

(12 x + 8)/(3 - 5 x) -1 ≥ |2x - 7| 

(17 x + 5)/(3 - 5 x) ≥ |2x - 7|     (2)

0) Il faut tout d'abord que (17 x + 5)/(3 - 5 x) 
soit positif: (17 x + 5)/(3 - 5 x) ≥ 0 avec 
(3 - 5 x) ≠ 0, c'est à dire x ≠ 3/5.

Les racines des monômes (12 x + 8) et (3 - 5 x) sont 
x01 = - 5/17 = - 0.294 et x02 = + 3/5 = + 0.6

Donc (12 x + 8)/(5 x - 3) < 0 à l'intérieur des 
racines; c'est à dire dans [- 5/17, 3/5[ 
L'ensemble des slutions doit donc être contenu 
dans S0 = [- 5/17, 3/5[ 

L'équation (1') peut s'ecrire comme une double 
inéquation:

- (17 x + 5)/(3 - 5 x) ≤ 2x - 7 ≤ (17 x + 5)/(3 - 5 x)

C'est à dire:

- (17 x + 5)/(3 - 5 x) ≤ 2x - 7     (3) 
d'ensemble de solution S1, et 
2x - 7 ≤ (17 x + 5)/(3 - 5 x)     (4)
d'ensemble de solution S2.


1)
On s'occupe d'abord de l'inéquation (3)

- (17 x + 5)/(3 - 5 x) ≤ 2x - 7     (3) 

a) Si 3 - 5x > 0,  x < 3/5, alors 
l'inéquation (3) s'ecrit:

- (17 x + 5) ≤ (2x - 7)(3 - 5 x) = - 10 x2 + 41 x - 21  
0 ≤ - 10 x2 + 41 x - 21 + 17 x + 5 = - 10 x2 + 58 x - 16 
ou
0 ≥ 5x2 - 29 x + 8 

Δ = (29)2 - 4(5)(8) = 
681 = (26.1)2 

x1 = (29 + 26.1)/10 = + 5.51
x2 = (29 - 26.1)/10 = + 0.29 

Le trinôme 5x2 - 29 x + 8 est negatif ou nul 
à l'intérieur des racines x1 et x2, donc 
dans [0.29, 5.51]. Avec la contrainte  x < 3/5 = 0.6, 
l'ensemble des solutions se réduit à S1a = [0.29, 0.6[.


b) Maintenant si 3 - 5x < 0,  x > 3/5, alors 
l'inéquation (3) s'ecrit:

- (17 x + 5) ≥ (2x - 7)(3 - 5 x) = - 10 x2 + 41 x - 21  
0 ≥ - 10 x2 + 41 x - 21 + 17 x + 5 = - 10 x2 + 58 x - 16 
ou
0 ≤ 5x2 - 29 x + 8 

Le trinôme 5x2 - 29 x + 8 est positif ou nul 
à l'extérieur des racines x1 et x2, donc 
dans ]- ∞ 0.29] ∪  [5.51, + ∞[. 
Avec la contrainte  x > 3/5 = 0.6, 
l'ensemble des solutions se réduit à S1b = [5.51, + ∞[.

Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation (3) 
est S1 = S1a ∪ S1b = [0.29, 0.6[ ∪ [5.51, + ∞[.


S1 = [0.29, 0.6[ ∪ [5.51, + ∞[ 



2)
On s'occupe d'abord de l'inéquation (4)

2x - 7 ≤ (17 x + 5)/(3 - 5 x)     (4)

a) Si 3 - 5x > 0,  x < 3/5, alors 
l'inéquation (4) s'ecrit:

(17 x + 5) ≥ (2x - 7)(3 - 5 x) = - 10 x2 + 41 x - 21  
0 ≥ - 10 x2 + 41 x - 21 - 17 x - 5 = - 10 x2 + 24 x - 26
ou
0 ≤ 5x2 - 12 x + 13 

Δ' = (- 6)2 - (5)(13) = 36 - 65 = - 29. 
Ce discriminant est négatif, donc le trinôme 5x2 - 12 x + 13 
n' a pas de racines. Il est toujous postif. L'ensemble 
des solutions est R. Avec la contrainte   x < 3/5, 
l'ensemble des solutions se réduit à S1b = ]- ∞, 0.6[.


b) Maintenant si 3 - 5x < 0,  x > 3/5, alors 
l'inéquation (4) s'ecrit:

(2x - 7)(3 - 5 x) ≥ (17 x + 5)
ou
0 ≥ 5x2 - 12 x + 13 
Le trinôme 5x2 - 12 x + 13 n'a pas de racines. 
Il est toujous postif puisque le signe du coefficient 
de x2 qui est 5 est positif. L'ensemble 
des solutions est donc l'ensemble vide. Avec 
la contrainte   x > 3/5, l'ensemble des 
solutions reste toujours doc l'ensemble vide.
S2b = {} = Φ.

Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation (4) 
est S2 = S1b ∪ S2b = ]- ∞, 0.6[ ∪ {} = 
]- ∞, 0.6[.


S2 = ]- ∞, 0.6[


L'ensembe des solutions de l'equation donnée est 
S = S1 ∩ S2 = [0.29, 0.6[ ∪ [5.51, + ∞[  ∩ ]- ∞, 0.6[
=  [0.29, 0.6[

Compte tenu de la contrainte de départ, l'ensemble 
des solutions doit  être contenu dans 
S0 = [- 5/17, 3/5[ = [- 0.294, 0.6[ 
Ce qui est bien le cas.

Ainsi, l'ensemble des solution de 
l'inéquation donnée est:


S = [0.29, 0.6[









  


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