Mathématiques 45: Algèbre:
Polynômes
Quand on effectue des opérations sur les
polynômes, on distribue les termes, on applique
les lois des exposants, et on simplifie.
Rappelons les règles suivantes:
1. xaxb = xa+b
2. (xa)b = xab
3. (xy)a = xaya
4. (x/y)a = xa/ya
5. x-a = 1/xa
6. xa/xb = xa-b =
1/xb-a
7. (x/y)a = (y/x)-a
8. x0 = 1 si x≠0
1. Multiplication des polynômes
Pour multiplier deux polynômes entre eux,
on distribue les termes de l'un aux
termes de l'autre, tout en applicant les
règles des exposants.
Multiplier deux polynômes, c'est développer
l'expression algébrique de leur produit.
(♣ + ♥)(♣ - ♥) = ♣2 - ♣♥ + ♥♣ - ♥2
On simplifie toujours l'expression finale:
(♣ + ♥)(♣ - ♥) = ♣2 - ♥2
Exemples
1. 4(x + 5) = (4)(x) + (4)(5) =
4x + 20
2. 3x(2x - 6) = (2x)(3x) - (3x)(6) =
6x2 - 18x.
Attention au signe - !
3. 4x (2x + 3) – 5x (7x2 + 2x) =
(4x)(2x) + (4x)(3) - (5x)(7x2) - (5x)(2x) =
8x2 + 12x - 35x3 - 10 x2
On rassemble les termes semblables:
= 8x2 - 10 x2 - 35x3 + 12x =
- 2x2 - 35x3 + 12x =
= - 35x3 - 2x2 + 12x .
4. (2x + 3)(4x - 5) = (3x)(4x) - (3x)(5) + (3)(4x) - (3)(5) =
12x2 - 15x +12x - 15 =
12x2 - 3x - 15
5.
(2x2 + 3x + 1)(4x2 - 5x - 4) =
(2x2)(4x2) - (2x2)(5x) - (2x2)(4) +
(3x)(4x2) - (3x)(5x) - (3x)(4) +
(1)(4x2) - (1)(5x) - (1)(4) =
8x4 - 10x3 - 8x2 +
12x3 - 15x2 - 12x +
4x2 - 5x - 4 =
8x4 + 2x3 - 19x2
- 17x - 4.
On range toujours les termes d'un polynôme
par ordre de degré décroissant.
2. Division des polynômes
2.1. Division d'un polynôme par un monôme
Comme pour la multiplication, la division d'un polynôme par
un monôme se fait par distributivité.
Exemples:
1. (6x + 15)÷3 = 6x÷3 + 15÷3 =
2x + 5
2. (6x4 + 15x)÷3x =
6x4÷3x + 15x÷3x =
2x3 + 5
2.1. Division d'un polynôme par un polynôme
On peut diviser un polynôme par un autre.
Une telle opération nécessite la condition que
le degré du numérateur est plus grand que le degré
du dénominateur.
La division se fait suivant la dite
division Euclidienne:
dividende = (quotient x diviseur) + reste.
La règle est la suivante:
. On cherche la plus grande valeur qui, multipliée par le
premier terme du diviseur donnera comme réponse le
premier terme du dividende.
. On effectue la distributivité de la multiplication du teme
trouvé sur le diviseur. On obtient un premier reste.
. On effectue la soustraction du dividende et du premier
reste.
. On continuer ainsi jusqu'à ce que l'on obtient
un reste de degré plus petit que celui du diviseur:
. Enfin, en ecrit le résulat sous forme d'une formule:
dividende = (quotient x diviseur) + reste .
Voici deux exemples, un sans reste et l'autre
avec reste.
1. Sans reste:
Considérons les deux polynômes:
P(x) = x3 + 2 x2 + 3x - 6, et
Q(x) = x - 1
x3 + 2x2 + 3x - 6 = (x2 + 3x + 6)(x - 1)
2. Avec reste:
P(x) = x3 + 2x2 + 3x, et
Q(x) = x - 1
(x3 + 2x2 + 3x) =
(x2 + 3x + 6)(x - 1) + 6
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