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Maths
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Mathématiques 2: Relations entre les triangles



Deux triangles sont differents, ou bien isometriques, ou bien semblables.

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.


1. Triangles différents

Deux triangles sont differents si leurs angles sont différents et leurs cotés son différents.



2. Triangles isométriques (congruence)

Deux triangles sont isométriques (congrus) si l'un est une réplique de l'autre. L'un est l'image de l'autre par une transformation telle que la translation, la rotation ou la reflection.

On peut les reconnaitre s'ils ont:

- Trois côtés respectivement égaux:


- Un angle égal, compris entre 2 cotés homologues (respectivement) égaux:


- Un côté égal compris entre 2 angles (homologues) respectivement égaux:



3. Triangles semblables (similitude)

Deux triangles sont semblables si l'un est un agrandissement de l'autre.

On peut les reconnaitre s'ils ont:

- Trois côtés homologues proportionnels



k = 3/4 est appelé rapport de similitude.

- Un angle egal compris entre deux côtés homologues proportionnels:



- Deux angles repectivement égaux.





4. Propriété des triangles semblables


Deux triangles ont leurs côtés homologues proportionnels si et seulement si leurs angles homologues sont isométriques.

Pour démontrer cette relation d'équivalence, il faut la démontrer dans les deux sens.

1. Si deux triangles ont leurs côtés homologues proportionnels, alors leus angles homologues sont isométriques.



La loi des cosinus permet de le démontrer:

a2 = b2+ c2 - 2bc cos A   (1)

Puisque les côtés sont proportionnels:

a'/a = b'/b = c'/c = k , alors

a'2 = b'2+ c'2 - 2b'c' cos A' =
(ka)2 = (kb)2+ (kc)2 - 2 kb kc cos A'

On simplifie par k2

a2 = b2+ c2 - 2bc cos A'  (2)

Les relations (1) et (2) permettent de conclure que mes A = mes A'

La même démonstration mène au résultas:
mes B = mes B' et mes C = mes C'

Ainsi deux triangles sont semblables si leurs côtés sont proportionnels ou s'ils ont deux angles égaux.


2. Maintenant, on veut démontrer l'inverse:

Si deux triangles ont leurs angles homologues isométriques, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.

On utilise la loi des sinus:

Pour le triangle ABC:
(sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c   (3)

Pour le triangle A'B'C':
(sin A')/a' = (sin B')/b' = (sin C')/c'   (4)

Comme les angles homologues sont isométriques, c'est à dire:
a = a', b = b', c = c', leurs sinus sont aussi égaux. Ainsi, la relation (4) devient:

(sin A)/a' = (sin B)/b' = (sin C)/c'   (4')

Divisant membre à membre les deus relations (3) et (4'), il vient:

a'/a = b'/b = c'/c

C'est dire que les côtés homologues sont proportionnels.






  


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