Mathématiques 3:
Statistiques
Échantillonnage
Intervalle de fluctuation

1. Échantillonnage

1.1. Échantillons

Lorsqu’on travaille sur une population de grande taille, il est rarement possible d'avoir accès aux données relatives à l'ensemble de la population. On utilise alors un échantillon de cette population.

Exemple : Les aranges dans un un verger d'orangers.

1.2. Définitions

Un échantillon de taille n est une sélection de n individus choisis «au hasard» dans une population.

Exemple : Un panier de 60 oranges .

1.3. Exemple

Dans un lot provenant d'un verger d'orangers, toutes les oranges sont mûres.

On veut étudier la répartition de couleur "orange/jaune" de la population d'oranges dans le lot qui contient des miliers d'oranges.

Il est pratiquement impossible de recenser toutes les oranges du lot. On décidera donc de travailler sur un échantillon en prélevant, par exemple, 80 oranges.

La taille de l’échantillon doit être suffisamment élevée pour fournir des résultats fiables, mais pas trop pour ne pas entrainer un surcroit de travail.

Il existe deux manières d’effectuer un échantillonnage:

• sans remise :

Dans l’exemple précédent, si l’on prélève les 80 oranges simultanément, on aura 80 individus différents.

• avec remise :

On prélève une orange au hasard, on note sa couleur puis on la remet dans le lot. Et on répète cette expérience 80 fois. Dans ce cas, il est possible de prélever plusieurs fois le même individu.

En pratique, si l’effectif global est nettement supérieur à la taille de l’échantillon, c’est à dire, ici, si le lot contient beaucoup plus de 80 oranges, les deux méthodes donneront des résultats également satisfaisants.

2. Intevalle de fluctuation

Si l’on effectue plusieurs échantillonnage de même taille sur une même population, on obtiendra en général des fréquences légèrement différentes pour un caractère donné.

Voici, par exemple, les résultats que l’on pourrait obtenir en prélevant 5 échantillons de 80 oranges :

Echantillons	n°1	n°2	n°3	n°4	n°5
Pourcentage de jaunes	52%	48%	55%	42%	50%

Ce phénomène s’appelle fluctuation d'échantillonnage.

3. Définition d'une loi est binomiale

Une loi est binomiale si elle suit une épreuve de Bernoulli B(n,p).

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui a deux issues : Une avec une probabilité p, l'autre avec une probabilité 1 - p.

Exemple le pile ou face d'une expérience de lancer 80 fois une pièce de monnaie: B(80, 0.5).

4. Intevalle de fluctuation

4.1. Théorème et définition

On note p la proportion d’un caractère dans une population donnée; p est connue et fixée .

On prélève un échantillon de taille n de cette population et on note f la fréquence du caractère dans l’échantillon.

Si 0.2 ≤ p ≤ 0,80 et si n ≥ 25
alors, dans au moins 95% des cas, f appartient à l’intervalle :

I_f = [p - 1/√n , p + 1/√n]

I_f est appelé l’intervalle de fluctuation au seuil 95% .

4.2. Remarques

On applique le théorème ci-dessus si on connaît la proportion p du caractère dans la population.

On peut aussi utiliser ce théorème en supposant que le caractère est présent dans une proportion p, c'est à dire en faisant une hypothèse sur p:

Suivant la (ou les) fréquence(s) observée(s) dans un (ou plusieurs) échantillon(s) on acceptera ou on rejettera l’hypothèse.

Bien retenir la signification de chacune des variables :

p = proportion du caractère dans l’ensemble de la population
f = fréquence du caractère dans l’échantillon
n = taille de l’échantillon

On a choisi le seuil de 95% car il conduit à une formule assez simple, et en plus on peut considérer comme «raisonnablement fiable» un résultat validé dans 95% des cas.

4.3. Exemple

Pour notre exempe d'oranges, on sait que le lot contient 55% d'oranges orange (et donc 45% d'oranges jaunes).

Pour nos échantillons de taille 80, n = 80 ≥ 25 ; par ailleurs p = 0.55 et donc 0.2 ≤ p ≤ 0.8.

Donc l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% sera

I_f = [0.55 - 1/√80 , 0.55 + 1/√80] = [0.55 - 1/8.9443 , 0.55 + 1/8.9443] = [0.55 - 0.1180 , 0.55 + 0.1180 ] = [0.4320, 0.6618]

I_f = [43.20% , 66.18%]