Mathématiques
1ère S
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Mathématiques 1S:
Suites
Monotonie d'une suite
1. Suite majorée, minorée, et bornée
Soit n un entier naturel utilisé pour marquer des
rangs, et soit (un) une suite à termes réels:
a) La suite est majorée si il existe une constante M
telle que pour tout n , on a un ≤ M
b) La suite est minorée si il existe une constante m
telle que pour tout n, on a un ≥ m
c) La suite est bornée si elle est majorée et minorée,
généralement dans un cercle de rayon μ .
2. Suites monotones
a) suite constante
La suite est constante (ou stationnaire) s'il existe une
constante réelle w telle que pour tout n , un = w,
c'est-à-dire pour tout n, un = un+1 .
b) suite croissante
La suite est croissante si pour tout entier n, un ≤ un+1 ,
c'est-à-dire un+1 - un ≥ 0 .
c) suite décroissante
La suite est décroissante si pour tout entier n, un ≥ un+1 ,
c'est-à-dire un+1 - un ≤ 0.
bb) suite strictement croissante
La suite est strictement croissante si pour tout entier n, un < un+1 ,
c'est-à-dire un+1 - un > 0 .
cc) suite strictement décroissante
La suite est strictement décroissante si pour tout entier n, un > un+1 ,
c'est-à-dire un+1 - un < 0.
3. Suites monotones à termes
strictement positifs
a) suite constante
La suite est constante (ou stationnaire) s'il existe une
constante réelle w telle que pour tout n , un = w,
c'est-à-dire pour tout n,
un+1/un = 1 .
b) suite croissante
La suite est croissante si pour tout entier n, un ≤ un+1 ,
c'est-à-dire
un+1/un ≥ 1 .
c) suite décroissante
La suite est décroissante si pour tout entier n, un ≥ un+1 ,
c'est-à-dire
un+1/un ≤ 1 .
bb) suite strictement croissante
La suite est strictement croissante si pour tout entier n, un < un+1 ,
c'est-à-dire
un+1/un > 1 .
cc) suite strictement décroissante
La suite est strictement décroissante si pour tout entier n, un > un+1 ,
c'est-à-dire
un+1/un < 1 .
4. Remarques
• Si la suite est croissante, elle est donc minorée par son premier terme uo .
• Si la suite est décroissante elle est donc majorée par son premier terme uo .
• Si une suite est croissante ou si elle est décroissante, elle est dite monotone.
• Si une suite est strictement croissante ou si elle est strictement décroissante,
elle est dite strictement monotone.
• Etudier le sens de variation d'une suite, c'est étudier sa monotonie éventuelle.
• Une suite peut être ni croissante, ni décroissante;
Exemple: La suite dite alternée un = (-1)n, les termes
successifs sont égales à 1, -1, 1, -1, ... Cette suite n'est pas monotone.
•
Si, pour une suite (un), de premier terme uo, il existe un rang
k ≥ o tel que la suite soit croissante (respectivement décroissante), on dit que la
suite est croissante (respectivement décroissante) à partir du rang n = k.
5. Methodes pour étudier la mononotonie
d'une suite
5.1. 1ère méthode: étudier directement
le signe
de un+1 - un
Exemple 1 : soit la suite (un) , telle que pour tout n
entier naturel un = n2 + n
un+1 - un = (n+1)2 + (n+1) - n2 - n =
2(n + 1) > 0
La suite (un) est strictement croissante.
Exemple 2 : vn = n/(n-1) pour tout entier n ≥ 2.
vn+1 - vn = (n+1)/n - n/(n-1) =
- 1/n(n-1) < 0
La suite (vn) est strictement décroissante.
5.2. Suites monotones à termes
strictement positifs :
Exemple : un = qn
Soit q un réel non nul.
On concidèrent la suite (un) définie pour tout n ≥ 0 par la relation :
un = qn
.
Premier cas : q ≤ 0
alors u0 > 0, u1 < 0, u2 > 0, ...
La suite alternée n'est pas monotone.
Deuxième cas : q > 0
alors pour tout n de N, un > 0 et un+1 / un = qn+1 / qn = q
Si q > 1 , on a pour tout n ≥ 0, un+1 / un > 1 alors la suite est strictement croissante.
Si 0 < q < 1 , on a pour tout n ≥ 0, 0 ≤ un+1 / un ≤ 1 alors la suite est strictement décroissante.
Si q = 1 , on a pour tout n ≥ 0 un+1 / un = 1 alors la suite est constante.
On retient donc:
• Soit q un réel fixé non nul, et la suite définie par un = qn nous avons alors :
• Si q > 1 alors la suite est strictement croissante.
• Si 0 < q < 1 alors la suite est strictement décroissante.
• Si q = 1 alors la suite est constante.
• Si q < 0 la suite n'est pas monotone.
6. Exercices résolu
Etudier la monotonie de la suite un ,
pour n ≥ 0, définie par un = 5n / n.
Pour tout n > 0 , on a un > 0.
Comparons donc un+1 / un à 1 :
Pour tout n > 0 , un+1 / un = (5n+1/ n+1) x (n / 5n)
= 5n / (n+1).
un+1 / un = 1 donne 5n / (n+1) = 1 , donc
n = 1/4
Or n ne peut être inférieur à 1/4, et ne peut être égal à 1/4 non plus,
donc la suite est strictement croissante.
7. Troisième méthode:
pour les suites récurrentes
Le critère est:
Si nous établissons que pour tout entier n ≥ 0,
un+1 - un et un+2 - un+1
sont de même de signe, alors
pour tout n ≥ 0, un+1 - un est du signe de
u1 - u0 .
Exemple :
Étudier la monotonie de la suite (un) définie par un+1 = 3un - 7
et u0 = 0 .
Il faut comparer les signes de un+1 - un et un+2 - un+1 .
On a pour tout n ≥ 0:
un+2 = 3un+1 - 7 et
un+1 = 3un - 7 . D'où:
un+2 - un+1 = 3(un+1 - un)
3 > 0, donc pour tout n ≥ 0, un+1 - un et un+2 - un+1
sont de même signe. Alors un+1 - un possède le même signe que
u1 - u0 = - 7.
Donc pour tout n ≥ 0, un+1 - un ≤ 0 donc la suite est décroissante.
8. Quatrième méthode:
pour les suites explicites
On suppose qu'il existe une fonctionne numérique
ƒ définie sur [0; + ∞[ telle que pour tout entier n ≥ 0 , un = ƒ(n) .
Si la fonction ƒ est croissante (respectivement décroissante)
sur [0; + ∞[, alors la suite (un) est croissante (respectivement décroissante).
Exemple 1 :
Soit la suite (un), telle que pour tout n
entier naturel un = n2 + n + 3 .
Soit la fonction ƒ : x -> ƒ(x) = x2 + x + 3 définie sur
[0; + ∞[, telle que pour tout n entier naturel un = ƒ(n).
Etudions le sens de variation de ƒ sur [0; + ∞[ .
La fonction ƒ est continue et dérivable sur [0; + ∞[ , pour tout
x de [0; + ∞[, on a ƒ'(x) = 2x + 1 > 0 .
Donc ƒ est strictement croissante sur [0; + ∞[.
Ainsi la suite (un) est strictement croissante.
exemple 2 :
(vn) = (vn)n≥2 définie par vn = (n+1)/(n-1)
Soit la fonction ƒ : x -> ƒ(x) = (x+1)/(x-) telle que pour
tout entier n ≥ 2 , vn = ƒ(n) .
Etudions le sens de variation de ƒ sur [2; + ∞[ .
La fonction ƒ est continue et dérivable sur [2; + ∞[.
Pour tout x de [0; + ∞[, on a ƒ'(x) =- 2/(x+1)2 < 0 .
Donc ƒ est strictement décroissante sur [2; + ∞[.
Ainsi la suite (vn) est strictement décroissante.
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