Mathématiques 3: Probabilités
Lancer pile ou face
Théorème de la limite centrale

1. Lancer pile ou face
Résultats de trois lancers

Considérons le jeu de pile ou face marqué 0 pour pile et 1 pour face.

On s'intéresse à la somme des résultats de n tirages, Ici n = 3. La pièce est équilibrée, chaque face a une chance sur deux d'être tirée.

Résultats et fréquences de trois lancers

Résultat tirage n°1	Résultat tirage n°2	Résultat tirage n°3	Somme	Valeurs de la somme	Nombre d'apparitions	Fréquence (%)
0	0	0	0	0	1	12.5
0	0	1	1	1	3	37.5
0	1	0	1	2	3	37.5
0	1	1	2	3	1	12.5
1	0	0	1
1	0	1	2
1	1	0	2
1	1	1	3

On constate que plus le nombre de tirages augmente, plus la courbe de fréquence se rapproche d'une courbe en cloche symétrique, caractéristique de la densité de probabilité de la loi normale.

On obtient un résultat similaire en jetant plusieurs dés à six faces (d6) et en en faisant la somme, mais le dénombrement est plus fastidieux.

2. Lancer pile ou face
une loi binomiale

28 personnes ont lancé la même pièce de monnaie dans les mêmes conditions. Sur les 28 lancers, on a obtenu 18 piles.

Selon ce résultat, peut-on décider sur le fait que la pièce de monnaie soit équilibrée ?

Réponse:

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de piles.

X suit une loi binomiale de paramètres n = 28 et p = 0.5; puisqu'elle obéit à une épreuve de Berboulli.

Ainsi l'inervalle de fluctuation est: [a/n; b/n]

a et b sont défini par :

• a est le plus petit entier tel que P(X = a) > 0.025 ;
• b est le plus petit entier tel que P(X = b) = 0.975.

En utlisant le programme loi binomiale cumulée, on trouve :

a = 9, et b = 19 If = [ 0.321 ; 0.679 ]

La probabilité observée est égale à : f = 18/28 = 0.64 Cette valeur d fréquence appartient à If, on peut donc ne mettre en doute la conformité de cette pièce de monnaie.