Mathématiques: CALCUL LITTÉRAL
Exercice 1
1) Résoudre le système suivant :
2) Olivier achète 2 livres de Mathématiques et 3 livres de Sciences Physiques pour la somme de 340 $.
Un livre de Mathématiques coûte 20 $ de plus qu’un livre
de Sciences Physiques.
a) Quel est le prix en dollars d’un livre de Mathématiques ?
b) Quel est le prix en dollars d’un livre de Sciences Physiques ?
Justifier les réponses.
Exercice 2
On considère l’expression :
A = (3x - 1)2 - (3x - 1)(2x + 3).
1) Développer et réduire A.
2) Factoriser A.
3) Résoudre l’équation : (3x - 1)(x - 4) = 0.
4) Calculer A pour x = √2.
Exercice 3
1) - 3 vérifie-t-il l’inégalité :
3x + 12 < 4 - 2x ?
Justifier.
2) - 3 est-il solution de l’équation : (x - 2)(2x + 1) = 0 ? Justifier.
3) - 3 est-il solution de l’équation :
x3 + 27 = 0 ?
Justifier.
4) Le couple (- 3 ; 1) est-il solution du système:
Exercice 4
On propose deux programmes de calcul :
Programme A :
– Choisir un nombre
– Multiplier ce nombre par 3
– Ajouter 7.
Programme B:
– Choisir un nombre
– Multiplier ce nombre par 5
– Retrancher 4
– Multiplier par 2
1) On choisit 6 comme nombre de départ.
Montrer que le résultat du programme B est 25.
2) On choisit (-2) comme nombre de départ.
Quel est le résultat avec le programme A ?
3) a) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit (- 5) ?
b) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0 ?
4) Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.
Même si cette démarche est incomplète il en sera tenu compte dans l’évaluation.
Exercice 5
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète,
ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise
en compte dans l’évaluation.
Jim affirme:
Pour tout nombre entier naturel n, l’expression
n2 - 24n + 144 est toujours différente de zéro.
Jim a-t-il raison ?
Exercice 6
Soit l’expression :
A = -2x(3x - 5) + (x + 7)(3x - 5).
1) Développer puis réduire A.
2) Factoriser A.
3) Calculer A pour x =
Exercice 7
Soit A = (4x - 1)(5x - 3) - (4x - 1)2.
1) Développer et réduire A.
2) Factoriser A.
3) Résoudre l’équation (4x - 1)(x - 2) = 0.
Exercice 8
On donne l’expression : E = (x - 2)2 - 4x(x - 2).
1) Développer et réduire E.
2) Factoriser E.
3) Résoudre l’équation : (x - 2)(-3x - 2) = 0.
Exercice 9
1) Développer (x - 1)2.
Justifier que 992 = 9801 en utilisant le développement précédent.
2) Développer (x - 1)(x + 1).
Justifier que 99 x 101 = 9999 en utilisant le développement précédent.
Exercice 10
1) Résoudre le système suivant :
2) Tom a joué 25 parties d’un jeu dont la règle est la suivante :
• Il n’y a pas de partie nulle,
• Si on gagne une partie, on gagne 5 $,
• Si on perd une partie, on perd 7 $.
À la fin des 25 parties jouées, Tom a gagné 30 $.
Combien Tom a t-il perdu de parties ?
Justifier la réponse.
Exercice 11
On donne l’expression
A = (3x + 5)(6x - 1) + (3x + 5)2.
1) Développer A, puis réduire.
2) Factoriser A.
3) Résoudre l’équation (3x + 5)(9x + 4) = 0.
Exercice 12
On donne E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3).
1) Développer et réduire E.
2) Factoriser E.
3) Calculer E pour x = - 2.
4) Résoudre l’équation (2x - 3)(x - 3) = 0
Exercice 13
On considère l’expression : E = (2x + 1)2 - 4.
1) Développer et réduire E.
2) Factoriser l’expression E sous forme d’un produit de facteurs du premier degré.
3) Résoudre l’équation (2x + 3) (2x - 1) = 0.
4) Calculer E lorsque x vaut .
5) Calculer E lorsque x vaut 0.
Exercice 14
On donne l’expression D = (2 - 5x)(4x + 3) + (2 - 5x)2 .
1) Développer, réduire et ordonner D.
2) Factoriser D.
3) Résoudre l’équation (2 - 5x)(- x + 5) = 0.
4) Calculer D pour x = - 1.
Exercice 15
Résoudre le système suivant :
Exercice 16
Soit E = x2 - 4 et
F = (x + 2)(3x + 1) - (x + 2)(2x + 3).
1)
a) Calculer E pour x = 0, puis pour x = 1 ;
b) Calculer F pour x = 0, puis pour x = 1.
2) En factorisant E et en factorisant F, prouver que E = F quelle que soit la valeur de x.
3) Pour quelles valeurs de x a-t-on E = 0 ?
Exercice 17
1) Résoudre l’inéquation :
.
2) Dans un jardin, on trouve 10 pommiers et 20 citronniers.
On envisage planter le même nombre x de pommiers et de citronniers.
Combien faut-il planter de chaque sorte pour que le nombre de pommiers soit au moins égal aux trois quart du nombre de citronniers ?
Exercice 18
Une personne dispose de 12 $.
Elle peut dépenser cette somme soit en achetant huit crayons et
deux cahiers, soit en achetant trois cahiers et six crayons.
Calculer le prix d’un cahier et celui d’un crayon.
 ↓Réponse↑
Les solutions du système sont: x = 1, y = 2.
Un crayon coûte 1.00 $, et un cahier coûte 2.00 $.
Exercice 19
On considère l’expression E = (3x + 2)2 - (3x + 2)(x + 7).
1) Développer et réduire E.
2) Factoriser E.
3) Calculer E lorsque x = .
4) Résoudre l’équation (3x + 2)(2x - 5) = 0.
Exercice 20
On considère l’expresion : A = (2x + 5)2 - (x + 3) (2x + 5).
1) Développer et réduire A.
2) Factoriser A.
3) Résoudre l’équation (2x + 5) (x + 2) = 0.
4) Calculer l’expresion A pour x = - .
On mettra le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
Exercice 21
Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse.
Aucune justification n’est demandée.
Barème de notation:
• 1 point par réponse juste,
• - 0.5 point par réponse fausse ;
• 0 point en l’absence de réponse.
En cas de total négatif, la note sera ramenée à zéro.
| no |
question |
A |
B |
C |
D |
| 1 |
Pour x = 2√3, l’expression
x2 + x + 1 vaut : |
13 + 2√3 |
√3 |
13 - 2√3 |
13 |
| 2 |
L’équation : x - 7 = 5x + 5 a pour solution : |
+ 3
|
7 |
1/3
|
- 3 |
| 3 |
√50
a pour valeur exacte : |
25 |
7.07 |
5√2 |
3√2 |
| 4 |
Le nombre de solutions de l’équation
x2 = 16 est |
0 |
- 4 |
2 |
+ 4 |
Exercice 22
On considère le programme de calcul suivant :
• Choisir un nombre
• Multiplier ce nombre par 3
• Ajouter 5
• Écrire le résultat.
1) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
a) le nombre choisi est 1, puis - 1 ;
b) le nombre choisi est x.
2) Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 20?
Exercice 23
On considère l’expression
E = (2x + 3)2 + (x - 5)(2x + 3).
1) Développer et réduire l’expression E.
2) Factoriser l’expression E.
3) Résoudre l’équation E = 0.
Exercice 24
On considère le programme de calcul suivant;
• Choisir un nombre de départ
• Ajouter 3
• Calculer le carré du résultat obtenu
• Lui soustraire le carré du nombre de
départ
• Écrire le résultat final.
1) a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1,
on obtient 9 au résultat final.
b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?
c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x.
2) On considère l’expression P = (x + 3)2 - x2.
Développer puis réduire l’expression P.
3) Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 21 ?
Exercice 25
Sur une étagère d'une bibliothèque, on place côte à côte six dictionnaires
identiques et douze volumes d'une encyclopédie . Le tout
prend 114 cm de long.
on déplace deux dictionnaires et on ajoute deux autres volumes
identiques aux autres. Le tout prend ainsi 106 cm de long.
On cherche l'épaisseur x d'un dictionnaire et l'épaisseur
y d'un volume de l'encyclopédie.
1) Écrire un système de deux équations à deux inconnues représentant la situation.
2) Résoudre le système:
3) En déduire l'épaisseur d'un dictionnaire et l'épaisseur
celle d'un volume de l'encyclopédie.
Exercice 26
On donne A = (3x - 1)2 - 16.
1) Développer et réduire A puis calculer A pour x = √2.
2) Factoriser A.
3) Résoudre l’équation 3(x + 1)(3x - 5) = 0.
Exercice 27
1) Soit E = (x - 4)2 + (x + 6)(x - 4).
Ecrire E sous forme d’un produit de facteurs.
Résoudre l’équation 2(x - 4)(x + 1) = 0.
2) Soit F = (2x - 3)2 - 2(5 - 6x).
Développer et réduire l’expression F.
Calculer F lorsque x = 2√3.
Exercice 28
On considère l’expression :
E = (3x - 5) (5 - 2x) - (3x - 5)2 .
1) Développer puis réduire E.
2) Factoriser E.
3) Résoudre l’équation (3x - 5) (- 5x + 10) = 0.
Exercice 29
1) Résoudre le système suivant :
2) Un terrain de 3202 de surface est reboisé. On compte 60 arbres en tout: des érables et des sapins.
L'érable occupe une surface de 8 m2 et le sapin occupe une surface de 4 m2.
Combien y a-t-il d'arbres de chaque sorte ?
Exercice 30
On considère l’expression G suivante :
G = (7x - 8)(- x + 4) - (7x - 8)2
.
1) Développer et réduire G.
2) Factoriser G.
3) Résoudre l’équation (7x - 8)(- 8x + 12) = 0.
Exercice 31
Soit l’inéquation - 2(x - 1) - 4 < 0.
1) - 5 est-il solution de l’inéquation ? Justifier.
2) Résoudre l’inéquation ; représenter les solutions sur un axe (hachurer la partie de l’axe qui ne convient pas).
Exercice 32
1) On pose : H = (x - 4)2 - x(x - 10).
a) Développer et réduire H.
b) Résoudre H = 16.
2) On pose : I = (7x - 3)2 - 52.
a) Factoriser I.
b) Résoudre l’équation I = 0.
Exercice 33
On donne A = (x - 5)2 et
B = x2 - 10x + 25.
1) Calculer A et B pour x = 5.
2) Calculer A et B pour x = -1 .
3) Peut-on affirmer que A = B quelque soit la valeur de x ?
Justifier.
Exercice 34
On considère un rectangle de longeur 2x + 7 et
de largeur 2x - 6. Le nombre réel x est supérieur à 3.
1) Justifier la condition que x > 3.
2) On donne E = (2x + 7)(2x - 6) et G = 2(2x + 7) + 2(2x - 6).
a) Développer et réduire E.
b) Développer et réduire G.
3) Que représente, géométriquement, l’expression E ? l’expression G ?
4) Déterminer x pour que la logeur soit le double de la
largeur.
Que vaut la valeur de G dans ce cas ?
Exercice 35
On donne E = (3x - 5)2 - 2(3x - 5).
1) Développer et réduire E.
2) Factoriser E.
3) Calculer E pour x = - 2.
4) Résoudre l’équation : (3x - 5)(3x - 7) = 0.
Exercice 36
Soit A = (3x - 1)2 - (3x - 1)(2x + 8).
1) Développer et réduire A.
2) Factoriser A.
3) Résoudre l’équation : (3x - 1)(x - 9) = 0.
Exercice 37
Soit A = (3x + 2)/4
1) Calculer A pour x = 2/3.
Le nombre 2/3 est-il solution de l’inéquation
(3x + 2)/4 < 3 ?
2) Résoudre l’inéquation (3x + 2)/4
<3 et représenter les solutions sur une droite
graduée.
Exercice 38
1) Résoudre le système d’équations suivant :
2) A la boulangerie, Rachel achète deux croissants et quatre pains au chocolat pour 6 $.
Dans la même boulangerie, Ben achète 2 croissants et un pain au chocolat pour 3 $.
Quel est le prix d’un croissant ?
Quel est le prix d’un pain au chocolat ?
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