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Mathématiques
2



Exercices de
perfectionnement


Je confirme mes acquis



© The scientific sentence. 2010


Mathématiques: Problèmes type Brevet




Exercice 1



Soient deux droites (BC) et (AD) qui se coupent en E.

On donne : AE = 7 cm ; EB = 13 cm ; EC = 10 cm , et ED = 9.1 cm .

a) Montrer que les droites (BD) et (AC) sont parallèles

b) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? Justifier.

c) Quelle est la nature du polygone ABCD?

Réponse

On sait que:
les droites (BC) et (AD) se coupent en E.
AE = 7 cm ; EB = 13 cm ; EC = 10 cm , et ED = 9.1 cm .

a) Nous avons:

EB/EC = 13/10 = 1.3
ED/EA = 9.1/7 = 1.3

On trouve EB/EC = ED/EA

De plus les points B, E, C et D, E, A sont alignés dans cet ordre.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, (BD) et (AC) sont parallèles.

b) Les points B, E, C et A, E, D sont alignés dans cet ordre.

EB/EC = 13/10 = 1.3
EA/ED = 7/9.1 = 0.77

On trouve EB/EC ≠ ED/EA

D'après la réciproque du théorème de Thalès, (BD) et (AC) ne sont pas parallèles.

Remarqhe : Si ces deux droites étaient parallèles, on aurait un parallélogramme où les digonales se couperaient en leur milieux; ce qui n'est pas le cas.

c) Le polygone ABCD formé est juste un trapèze.



Exercice 2



On considère deux cercles C1 et C2 tangents en B.
Soient M un point sur le cercle C2 et N un point sur le cercle C1 telque les points M, B et N sont alignés.
On donne AB = 2 cm, BC = 3 cm et BM = 2.4 cm.

a) Montrer que les triangles ANB et BMC sont rectangles
b) Montrer que les droites (AN) et (MC) sont parallèles
c) Montrer que le triangle ANB et une réduction du triangle BMC. Quel est alors le rapport de réduction?
d) calculer MC, BN et AN

Réponse

a) On sait que M est un point du cercle C2. De plus le côté BC du triangle BMC est le diamètre du cercle C2.

D'après la propriété : « Si un point appartient à un cercle , alors il forme avec les extrémités d'un diamètre un angle droit.»,

Donc les triangles ANB et BMC sont rectangles.

b) On sait que la droite (MN) est perpendiculaire aux deux droites (AN) et (MC)

D'après la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. »

Donc les droites (AN) et (MC) sont parallèles

Remarque:

On peut également utliser le propriété suivante :

« Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles. »


c) On sait que les triangles ANB et BMC sont des triangles rectangles:
Les angles M et N sont droits, et
Les angles MBC et NBA sont opposés par le sommet, donc égaux.

Donc leurs angles complémentaires BCM et NAB sont égaux.

Ainsi, les trois angles dans les deux triangles ANB et BMC sont conservés.

Par conséquent, les triangles ANB et BMC sont une réduction ou un agrandissement de l'autre.

Puisque AB = 2 cm et son homologue BC = 3 cm, plus grand que AB, alors le triangle ANB est une réduction du triangle BMC.

Le rapport de réduction est égal à AB/BC = 2/3.

d) • Calcule de BM

On sait que le triangle ANB est une réduction du triangle BMC. Donc leurs longueurs sont proportionnelles. D'où:

BA/BC = BN/BM = AN/CM = 2/3
BN/BM = 2/3
BN = (2/3) x BM = (2/3) x 2.4 = 1.6

BN = 1.6 cm

• Calcule de MC

On sait que le triangle BNC est rectangle.

D'après la propriété de Pythagore:

BC2 = BM2 + MC2 . D'où:
MC2 = BC2 - BM2
32 - 2.42 = 3.24 = 324/100 = 182 /102
MC = √(182 /102) = 18/10 = 1.8

MC = 1.8 cm

• Calcule de AN

AN/CM = 2/3
AN = (2/3) x CM = (2/3) x 1.8 = 1.2

AN = 1.2 cm






  Propriété de reconnaissance d'un
agrandissement ou d'une réduction


Une figure est un agrandissement ou une réduction de l'autre si l'une des deux cinditions et vérifiée:

• les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles, ou

• les angles sont conservés.

Le rapport de proportionnalité, c'est le coefficient de l'agrandissement ou de réduction. D'agrandissement s'il est supérieur à 1 et de réduction s'il est inférieur à 1.








  


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