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Mathématiques:
Algèbre
La fonction logarithmique
Équation de définition d'une fonction logarithmique




1. Équation de définition d'une fonction logarithmique


L'équation de définition d'une fonction logarithmique, sous la forme canonique s'ecrit:

f(x) = a logc(b(x - h)) + k

Ou sous la forme réduite:

f(x) = logc1±(x - h) + k

Selon les informations dont on dispose, on cherche les paramètres c1, h et k.



2. Formule des variations unitaires
d'une fonction logarithmique


Soit la fonction logarithmique:

f(x) = logc1(x - h) + k

Pour deux variables indépendentes succéssives x1 et x2, on aura:

y1 = logc1(x1 - h) + k     (1)
y2 = logc1(x2 - h) + k     (2)

On fait la différence (2) - (1):

logc1(x2 - h) - logc1(x1 - h) = y2 - y1

Pour des variations régulières de une unité, c'est à dire y2 - y1 = 1, on aura:

logc1(x2 - h) - logc1(x1 - h). D'où:

(x2 - h)/(x1 - h) = c
x2 - h = c(x1 - h) = cx1 - ch
x2 = = cx1 - ch + h = cx1 + h(1 - c)
x3 = = cx2 + h(1 - c)

xn = cxn-1 + h(1 - c)



3. Calcul de la base: exemple


On donne le tableau suivant:

x f(x)
- 7/4 - 4
- 3/2 3
- 1 - 2
0 -1

On a:

x1 - 7/4     (3)
x2 = - 3/2 = c(- 7/4) + h(1 - c)     (4)
x3 = - 1 = c (- 3/2) + h(1 - c)     (5)

... = ...

La différence (5) - (4) donne:

c (- 3/2) + h(1 - c) - c(- 7/4) - h(1 - c) = - 1 + 3/2
c (- 3/2) - c(- 7/4) = 1/2
c (7/4 - 3/2) = 1/2
c (1/4) = 1/2
c = 2

La base c de cette fonction logarithmique est égale à 2 .



4. Calcul des deux autres paramètres h et k


Une fois la base est détérminée, on ecrit la définition de la fonction sous forme réduite:

f(x) = log2(x - h) + k

Il suffit de prendre deux points du tableau et substituer leurs valeurs dans la définition de la fonction pour avoir deux équations permettant de calculer h et k

Le point (0, -1 ) donne: log2(- h) = - 1 - k     (6)

Le point (2, -0 ) donne: log2(2 - h) = - k     (7)


La différence (7) - (6) donne:

1 = log2[(2 - h)/(- h)]. D'où h = - 2 et donc k = - 2

L'équation de définition de la fonction s'ecrit donc:

f(x) = log2(x + 2) - 2 .








  


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