Mathématiques:
Algèbre
La fonction logarithmique
Propriétés de la fonction logarithmique

1. Formule de changement de base

On pose :
y = log_a(x) donc x = a^y
z = log_b(a) donc a = b^z

Donc x = (b^z)^y = b^yz

D'où: log_b(x) = yz = log_a(x) . log_b(a)

Ainsi:

2. Le logarithme d'un produit

On pose:
z1 = log_a(x) donc a^z1 = x
z2 = log_a(y) donc a^z2 = y

Donc:

x y = a^z1 a^z2 = a^{z1 + z2}

D'où:

log_a(xy) = z1 + z2 = log_a(x) + log_a(y)

Ainsi:

3. Le logarithme d'un quotient

On pose :
z1 = log_a(x) donc a^z1 = x
z2 = log_a(y) donc a^z2 = y

Donc:

x/y = a^z1 /a^z2 = a^{z1 - z2}

D'où:

log_a(x/y) = z1 - z2 = log_a(x) - log_a(y)

Ainsi: