Mathématiques:
Algèbre & Géométrie
Les fonctions trigonométriques
La fonction tangente
Règle de la fonction tangente

1. Les paramètres importants

• Sous forme canonique, l'équation de la fonction tangente est:

f(x) = a tan (b(x - h)) + k

• La période de la fonction tangente est: P = π/|b|

• Équation des asymptotes : x = h + (n + 1/2)P.

• Si x1 et x2 sont deux équations de deux symptotes consécutives , alors;

x2 - x1 = [h + (n + 1 + 1/2)P] - [h + (n + 1/2)P] = P.

Ainsi la différence des deux abscisses de deux asymptotes consécutives donne la valeur de la période.

P = Δ(asymptotes consécutives)

• Si x1 et x2 sont deux équations de deux symptotes consécutives , alors leur cosinus est nul. C'est à dire :

a cos(b(x1 - h)) + k = a cos(b(x2 - h)) + k = 0.

D'où: h = (x1 + x2)/2

h = (x1 + x2)/2

Ainsi la moyenne des deux abscisses de deux asymptotes consécutives donne la valeur du paramètre h.

2. Exemple

On demande de trouver la règle d'une fonction tangente ayant deux asymptotes définies par les équations x = π/2 et x = π.

Entre ces deux asymptotes, le graphique de la fonction passe par les points (π/8,0) et (3π/4, 1).

• La période P = π - π/2 = π/2. D'où |b| = π/P = π/(π/2) = 2
On prend b > 0 pour l'instant. son signe sera déterminé par le paramètre a.

• b = 2

• Le paramètre h = (π + π/2)/2 = 3π/4

h = 3π/4

• Au point (3π/4, 1):

f(3π/4 = 1 -> a tan (2(3π/4 - 3π/4)) + k = 1
a tan (0) + k = 1 . D'où k = 1

k = 1

• Au point (π/8, 0):

f(π/8) = 0 -> a tan (2(π/8 - 3π/4)) + k = 0
a tan (- 5π/4 ) + k = 0
tan (- 5π/4) = - k/a.

La fonction tan est impaire -> tan (5π/4) = k/a .

En substituant la valeur de k, on aura:
tan (5π/4) = 1/a . D'où a = 1/tan (5π/4)

a = 1/tan (5π/4) = 1/tan (π/4) = 2/√2 = √2

a = √2

Au point π/8) = 0, la fonction est croissante
donc ab > 0 donc b est > 0.

Finalement, la règle de la fonction tangenet cherchée
est donc:

f(x) = √2 tan (2(x - 3π/4)) + 1