Mathématiques:

Fonction valeur absolue
Inéquations avec valeur absolue

Inéquations avec valeur absolue

1. Exemple

On veut résoudre l'inéquation

|2x + 1| ≤ x + 2.

Ici, nous avons une contrainte pour le membre de droite. Il doit être positif ou nul.

D'après la définition de la valeur absolue, on a:

\[ \bf\color{brown}{ \lvert \text{2x + 1} \rvert = \begin{cases} + \; \text{(2x + 1)} \; & \text{si} \qquad x \ge \; - 1/2 \\[2ex] - \; \text {(2x + 1)} \; & \text{si} \qquad x \lt - 1/2 \end{cases} } \]
• Contrainte: x + 2 ≥ 0 → x ≥ - 2


• Branche de droite x ≥ - 1/2

2x + 1 ≤ x + 2 → x ≤ 1

L'intersection de ]- ∞, 1] , [- 1/2, ∞[ et [- 2, +∞[ est [- 1/2,1] .
La réponse convient.


• Branche de gauche x < - 1/2

- 2x - 1 ≤ x + 2 → x ≥ - 1

L'intersection [- 1, + ∞ ], ]- ∞, - 1/2[ , et [- 2, +∞[ est [- 1, - 1/2[ .
La réponse convient.

L'union des deux réponses constitue l'ensemnble des solutions:

S = [- 1, 1]

2. Cas général

• |ax + b| ≤ C

Dans l'inéquation |ax + b| ≤ C,
C est soumis à la contrainte d'être toujours positif.

ax + b ≤ c si ax + b ≥ 0

-(ax + b) ≤ c ou ax + b ≥ - c si ax + b < 0

On résoud donc les inéquations

ax + b ≤ c et
ax + b ≥ - c.

La solution finale est l'ensemble-solution formé par
l'union des solutions des deux inéquations

• |ax + b| ≥ C

Dans l'inéquation |ax + b| ≥ C,
C n'est soumis à aucune contrainte. Il peut être positif ou négatif ou nul.

ax + b ≥ c si ax + b ≥ 0

-(ax + b) ≥ c ou ax + b ≤ - c si ax + b < 0

On résoud donc les inéquations

ax + b ≥ c et
ax + b ≤ - c.

La solution finale est l'ensemble-solution formé par
l'union des solutions des deux inéquations

3. Exemple

On veut résoudre l'inéquation

|2x + 2| ≥ x + 8 .

Ici, aucune contrainte pour le membre de droite. Il peut être positif ou négatif ou nul .

D'après la définition de la valeur absolue, on a:

\[ \bf\color{brown}{ \lvert \text{2x + 2} \rvert = \begin{cases} + \; \text{(2x + 2)} \; & \text{si} \qquad x \ge \; - 1 \\[2ex] - \; \text {(2x + 2)} \; & \text{si} \qquad x \lt - 1 \end{cases} } \]
• Branche de droite x ≥ - 1

2x + 2 ≥ x + 8 → x ≥ 6

L'intersection de [- 1 , ∞[ et [6, ∞[ est [6, ∞[ .
La réponse convient.


• Branche de gauche x < - 1

- 2x - 2 ≥ x + 8 → x ≤ - 10/3

L'intersection ]- ∞, - 1[ , et [- ∞, - 10/3[ est ]- ∞, - 10/3[ .
La réponse convient.

L'union des deux réponses constitue l'ensemnble des solutions:

S = ]- ∞, - 10/3[ ∪ [6, ∞[