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Mathématiques:
Algèbre
La fonction logarithmique
Le logarithme naturel
e = 2.71828183
Le logarithme naturel
Le logarithme naturel, ou encore logarithme hyperbolique, dit aussi logarithme népérien pour
rendre hommage John Néper est le logarithm à base e = 2.71828183.
On le note ln , ou LN ,
ou loge.
On rappelle que le logarithme de Neper est le logarithme, pour lequel, si attribue une base,
elle sera on égale à 107 - 1 = 9999999.0000000,
puisque selon ses tables log_neper(9999999.0000000) = 1.
John Néper ne s'en souciait guère de l'existence d'une base dans ces calculs. Il
utilisait une ligne de longueur infinie pour la première particule se déplaçant
en mouvement uniforme et un segment de droite de longueur finie de longeur = 10,000,000 = 107 pour la seconde particule.
Le concepte de base était née avec Briggs. En termes modernes, nous pouvons donc
dire que la base du logarithme dans la table de Napier est
est :
base_neper =
(1 - 1/107)107
Avec une calculette, on trouve: base_neper = 0.36787942 ....
Par ailleurs, la progression géométrique de Neper est décroissant. À
l'inverse, si on l'ecrit de manière à ce qu'elle soit croissante, on
aura:
base_neper = 1/(1 - 1/107)107 = 2.71828
Le nombre 2,718 ... est connu pour avoir apparu pour la première fois dans l'annexe à
la traduction anglaise du livre de Neper "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.
On attribue cet annexe à William Oughtred (1574 - 1660).
Au lieu de prendre 107, nous prenons plutôt l'infini. Dans ce cas on tombe alors
sur le formule d'Euler (1728):
lim (1 - 1/x)x = 1/e lorsque x s'approche de zéro.
Ainsi , le logarithme à base de nombre d'Euler = 2.71828 , loge
se note ln et se lit logarithme naturel ou, pour rendre hommage à Neper,
on dit logarithme népérien.
Nicolaus Mercator, mathématicien allemand (1620-1687) connu par sa série
x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + x5/5 - ... (série de Mercator),
dans son traité intitulé Logarithmotechnia (1668) fut le premier
à nommer naturel le logarithme à base e, et à définir implicitement le
logarithme népérien (fonction ln, anciennement noté Log) en tant
que primitive de la fonction 1/x.
La qualification de natural pour le logarithme à base e vient du fait
qu'il n' ya pas de plus naturel que de faire une subdivision infinie à la place
de 107 qu'avait utilisé Neper.
Néanmoins, beaucoup de processus dans la nature peuvent être décrits selon des
modèles qui utlise ce nombre. Le phénomère de décroissance
radiactive en est un.
Gottfried Leibniz (1646 - 1716), mathématicien allemend, l'un des inventeurs du calcul
différentiel est un des premiers à mettre une variable en exposant (1678).
Grégoire de Saint-Vincent (1584 - 1667), un mathématicien et géomètre de l'école
belge, est connu pour le calcul de l'aire comprise entre un segment de droite et un
arc d'hyperbole, qu'il relia au logarithme de la longueur du segment.
En 1647, Grégoire de Saint-Vincent a calculé l'aire sous l'hyperbole à angle droit . Il a
affirmé que la zone délimitée par l'hyperbole d'équation xy = 1 et l'axe des x
entre x = 1 et x = e était l'unité.
e = 2,7182818284 est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini
de décimales sans suite logique.
Le nombre e est un nombre qui n'est pas algébrique. C'est un nombre transcendant,
c'est à dire qu'il n’est solution d’aucune équation polynomiale.
La fonction exponentielle était connue depuis longtemps avant Neper, mais avec une
variable discrète et c'est plus tard avec les Bernoulli et Euler (1707 - 1783) que la fonction
exponentielle apparut comme réciproque de la fonction logarithme.
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