Mathématiques
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Les polynômes
Calculateurs
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| Mathématiques 45: Algèbre:
Opérations sur les polynômes
Division d'un polynôme par un binôme
de la forme x - a
Méthode de Horner
1. Division d'un polynôme par un binôme
Méthode de Horner
La méthode de Horner utilise la division d'un polynôme par un binôme
de la forme x - a , tout comme la méthode sythétique.
William George Horner (1786 - 1837) est un mathématicien britannique d'origine irlandaise.
2. Méthode et exemple
On disposition les opérations comme pour une division posée, c'est à dire
la division habituelle des nombres.
On considère la division:
7x4 - 3x3 + x2 -6x + 4 ÷ x - 1.
| \(7x^4\) |
\(- 8x^3\) |
\(+ 3x^2\) |
\(- 2 x \) |
\(+ 4 \) |
| |
\(x - 1\) |
|
|
| \( 0x^4\) |
|
\(0x^4 + \) 7\(x^3
\) - 1\(x^2 +
\) 2\(
x
+
\) 0\(
\) |
|
|
| 7\( x^4\) |
\(- 8x^3\) |
|
| \(- 7x^4\) |
\(+ 7x^3\) |
|
|
|
|
- 1 \(x^3\) |
\(+ 3 x^2\) |
|
|
\(+ 1x^3\) |
\(- x^2\) |
|
|
|
|
|
2 \( x^2\) |
\(- 2x\) |
|
| \(- 2x^2 \) |
\( + 2x \) | |
|
|
|
|
0\(x \) |
\(+ 4 \) | |
| \(0 x \) |
\(- 0\) | |
|
|
|
| |
\(+ 4\) |
|
Cette méthode dite de Horner donne donc le quotient de
7x4 - 3x3 + x2 -6x + 4 par x - 1.
Ce quotient est égal à :
\(7x^3 - x^2 + 2x + 0\).
On rassemble les coefficients du dividende et du quotient.
On montre aussi la méthode synthétique:
|
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\(7\) |
\( - 8\) |
\(+ 3\) |
\(- 2\) |
| |
\(+ 4\) |
| \(+ 1\) |
|
\( + 7\) |
\(- 1\) |
\(+ 2\) |
\( 0\) |
|
|
|
|
\(7\) |
\(- 1\) |
\(+ 2\) |
\( 0\) |
\(+ 4\) |
Nous avons donc:
\(7x^4 - 3x^3 + x^2 - 6x + 4 = \)
\((7x^3 - x^2 + 2x)(x - 1) + 4 \)
\(7x^3 - x^2 + 2x \) est le quotient. 4 est le reste.
3. Ecriture du polynôme sous la base (x - 1)
On utilise la méthode synthétique de nouveau et
succéssivement sur les coefficients. On obtient
les coefficients restes suivants:
| | \( 7\) | | \(-8\) | | \(3\) | | \(- 2\) |  | \( 4\) | |
| \(+ 1\) | | | | \( 7\) | | \( -1\) | | \( 2\) | \( 0\) | |
| | | | |
| | \(7\) | | \(- 1\) | | \(2\) | | \(0\) | \(4\) | |
| \(+1\) | | | | \(7\) | | \(6\) | \(8\) | |
| | | | |
| | \(7\) | | \(6\) | | \(8\) | \(8\) | |
| \(+1\) | | | | \(7\) | \(13\) | |
| | | | |
| | \(7\) | | \(13\) | \(21\) | |
| \(+1\) | | | \(7\) | |
| | | | |
| | \(7\) | \(20\) | |
| \(+1\) | | | |
| | | |
| | \(7\) | |
Ces coefficients permettent d'écrire le polynôme initial dans une nouvelle base formée des puissances de x - 1.
7\((x - 1)^4 + \)
20\((x - 1)^3 + \)
21\((x - 1)^2 + \)
8\((x - 1) + \)
4\( .
\)
|
|
