Mathématiques 45: Algèbre:
Opérations sur les polynômes rationnels

1. Polynôme rationnel

On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des polynômes rationnels, c'est à dire sous forme de fractions de polynômes.

Les opérations sur les polynômes rationnels sont exactement les mêmes que celles sur les fractions.

Il faut toujours ecrire les restrictions qui proviennent du polynôme dénominateur qui ne doit jamais être nul.

Exemple:

(2x² + 1)/(x - 3) est un polynôme rationnel.

La valeur 3 annule le dénominateur. C'est donc
la valeur qui présente la restriction.

On ecrit: x ≠ 3.

2. Opérations sur les polynômes rationnels

Simplifier le polynôme rationnel avant toute opération, réduire au même dénominateur, développer, simplifier et montrer les restrictions:

Exemple 1:

(7x² - 14)/28 = (x² - 2)/4


Exemple 2:

(2x - 1)/(x - 1) + (x + 1)/(x + 2) =
(2x - 1)(x + 2)/(x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x + 1)/(x - 1)(x + 2) =
[(2x - 1)(x + 2) + (x - 1)(x + 1)]/(x - 1)(x + 2) =
(2x² + 4x - x - 2 + x² + x - x - 1)/(x - 1)(x + 2) =
(3x² + 3x - 3)/(x - 1)(x + 2) =
3(x² + x - 1)/(x - 1)(x + 2)
avec x ≠ + 1 et x ≠ - 2.


Exemple 3:

2/(x² - 1) - (x + 5)/(x² + 2x + 1)

Nous avons:

(x² - 1) = (x + 1)(x - 1)
x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Donc:

= 2/(x + 1)(x - 1) - (x + 5)/(x + 1)² =
2(x + 1)/(x + 1)²(x - 1) - (x + 5)(x - 1)/(x - 1)(x + 1)² =
[2(x + 1) - (x + 5)(x - 1)]/(x - 1)(x + 1)² =
[2x + 2 - (x² - x + 5x - 5)]/(x - 1)(x + 1)² =
[2x + 2 - x² - 4x + 5]/(x - 1)(x + 1)² =
[- x² - 2x + 7]/(x - 1)(x + 1)² =
- (x² + 2x - 7)/(x - 1)(x + 1)² .

avec x ≠ + 1 et x ≠ - 1.


Exemple 4:

(x² - 4)/(x + 7) . (- 3)/(x + 2)

Nous avons:

x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Donc

= (x + 2)(x - 2)/(x + 7) . (- 3)/(x + 2) =
(x + 2)(x - 2)(- 3)/(x + 7)(x + 2) =
- 3 (x + 2) (x - 2)/(x + 7) (x + 2) =
- 3 (x - 2)/(x + 7)

avec x ≠ - 7.

3. Signe des polynômes rationnels

Puisque la règle des signes du produit et du quotient sont les mêmes, l'étude du signe d'un polynôme rationnel est exactement la même que celle du signe du produit des polynômes. Il est toujours pratique et utile de représenter un tableau de signe.

Exemple 1:

Signe du polynôme (x - 3)/(x + 2) = Signe du polynôme (x - 3)(x + 2)

Le tableau de signe correspondant est le suivant:

Dans un même tableau, nous avons le signe du produit et du quotient.

Exemple 2:

Signe du polynôme P(x) = (x² - x - 6)/(x + 4)(x - 1)².

La forme factorisée (canonique) de x² - x - 6 est (x - 3)(x + 2)

Le tableau de signe de P(x) est le suivant:


Le polynôme (x - 1)² est toujours positif, donc n'intervient pas dans les opérations.

Il faut exclure les valeurs x = - 4 et x = 1 qui annulent le dénominateur.