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p objets parmi les n

p →
n →




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probabilité p donnant k
succès en n répétitions

p →
k →
n →

          
          



Résultat:


Mathématiques 2: Analyse combinatoire
Sans ordre et sans répétition



Tirage sans ordre et sans répétition


1. Exemple

Combien de paires de chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 3 et 5 ?

Nous avons en tout 3 chiffres et on veut fabriquer une pire avec 2 chiffres.

Ici l'ordre n'est pas important puisque, par exemple, la paire {1,3} est la même que la paire {3,1}.

Ici aussi, Le tirage est sans répétition et donc les paires {1,1}{2,2}{3,3} ne sont pas recherchés.

La question posée est reformulée ainsi:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort deux billes d’une boite qui en contient trois, une verte, une rouge et une blue, sans ordre et sans remise.

Ce problème est le même que le problème précédent; c'est à dire un tirage avec ordre et sans remise, c'est à dire 6. Mais l'ordre imposait p! = 2! façons différentes d'ecrire un résultat à deux chiffres.

Ainsi la réponse à la question posée c'est le nombre d'arragements A(n,p) = 6 divisé par le nombre de façons différentes d'écrire un résultat en tenant compte de l'ordre, qui est p! = 2!

Réponse : A(n,p)/p! = 3!/(3 - 2)!2! = 3 paires :
{1,2}, {1,3},{2,3},

Le diagramme en arbre est le suivant:



2. Cas général

L'expérience aléatoire sans remise et sans ordre de p objets parmis n est une combimaison de n objets . Ce nombre est noté C(p,n) = n!/(n - p)!p!

Dans l'exemple ci-dessus, p = 2 et n = 3 . Ainsi les résultas sont en nombre de 3!/(3 - 2)!2! = 3.


Expérience aléatoire sans ordre et sans répétition :
Combinaison de n objets en p objets:


C(p,n) = A(p,n)/p! = = n!/(n - p)!p!



3. Cas particulier

Lorsqu' on a n objets à permuter en n objets, c'est à dire le nombre de tirage est égal au nombre d'objets dans l'ensemble de référence (n = p), dans ce cas, la formule ci-dessus devient:

C(p,n) = n!/(n - p)! = n!/(n - n)! = n!


Expérience aléatoire sans ordre et sans répétition :
Permutation sans ordre de n objets :


A(p,n) = n!/p!








  


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