Mathématiques 2: Analyse combinatoire
Sans ordre et avec répétition
Tirage sans ordre et avec répétition
1. Exemple 1
Combien de nombres à deux chiffres peut-on
former avec les chiffres 1, 3 et 5 de telle
sorte que le quotient du chiffre des dizaines
par le chiffre des unités soit plus petit
ou égal à 1?
Nous avons en tout 3 chiffres et on veut
fabriquer un nombre avec 2 chiffres de telle
sorte que le quotient du chiffre des dizaines
par le chiffre des unités soit plus petit
ou égal à 1.
Ici l'ordre est annulé par la contrainte.
13 est retenu car (1/3) ≤ 1; mais 31 est
exlus puisque (3/1) > 1.
Ici aussi, Le tirage est avec répétition puisque
les nombres 11, 22, et 33 sont recherchés (le
chiffre des dizaines et le chiffre des unités
pouvant être le même).
La question posée est reformulée ainsi:
Combien de résultas différents obtient-on
en tirant au sort deux billes d’une boite
qui en contient trois, une verte, une rouge
et une blue, sans ordre et avec remise.
1re bille tirée = chiffre des dizaines,
2e bille tirée = chiffre des unités.
Réponse : 9 nombres :
11, 13, 15, 33, 35, 55.
Le diagramme en arbre est le suivant:
2. Exemple 2
Nous avons une boîte où il ya 4 cartes: un pique,
un coeur, un carreau et un trèfle.
On tire 6 fois. Chaque fois, on tire une seule carte.
Le nombre de tirage 6 est plus grand que le nombre
de cartes, donc il y a remise.
On s'interesse seulement aux résultats différents. Par
exemple un tirage qui donne le résulta:
(3 piques, 1 cœur, 0 carreau, 2 trèfles), et au autre
qui donne le résultat (1 cœur, 0 carreau, 3 piques, 2 trèfles)
sont les mêmes. Nous avons un tirage avec remise
et sans ordre.
Ce qui est important dans ce genre d'expérience, c'est
le nombre de chaque espèce obtenus après 6 tirages. C,est
à dire combien de piques, de cœur, de carreau, et de trèfles
qui sont sortis à la fin du tirage.
Si x1, x2, x3, et x4 sont respectivemenet les nombres
de piques, de cœurs, de carreaux, et de trèfles qui sont
sortis, on a toujours Σxi = 6 (i va de 1 à 4).
Le xi peut prendre les valeurs de 0 à 6.
N'importe quel résultat de 6 tirages peut
être représenté ainsi:
nombre de piques|nombre de cœurs|nombre de carreaux|nombre de trèfles,
ou
⋆⋆⋆⋆⋆⋆|⋆⋆⋆⋆⋆⋆|⋆⋆⋆⋆⋆⋆|⋆⋆⋆⋆⋆⋆
ou
x1|x2|x3|x4
Voici quelqus sories qu'on peut avoir:
Nous avons, en tout besoin de 6 espaces et 4 - 1 = 3 barres pour
représenter un résultat. Par exemple, si deux piques, 1 cœur, 0
carreaux, et 3 trèfles ont été tiré, on a la représentation
suivante:
⋆⋆|⋆||⋆⋆⋆
Le problème revient à trouver le nombre de façons de
placer ou de ranger 6 objets dans 9 places, ou dans un
ensemble de 9 places, le nombre de façons de placer 6
objets ⋆. Ce qui revient aussi à chercher le
nombre de sous-ensembles de 6 elements parmi un
ensemble de rférence de 9 éléments. Ce nombre est
le nombre de combinaisons de 6 objets parmi les
9 objets disponibles. Il vaut C(6,9) = 9!/6!(9 - 6)! =
84 manières différentes.
3. Cas général
Le nombre d'objets d'un résultat est égal au
nombre de tirages où l'on tire un objet à chaque
tirage. Ce nombre est noté p.
Le nombre d'objets différents sur lequels on effectue
l'expérience aléatoire est noté n.
1er tirage → n possibilités
2e tirage → n possibilités
(puisqu'il y a remise)
...
→ ...
pe tirage → n possibilités
p peut être supérieur à n puisqu'on tire avec remise.
Au total, nous avons C(p, n + p - 1) combinaisons de p objets
parmi les n + p - 1 objets disponibles.
L'expérience aléatoire avec remise et sans ordre
de p objets parmis n est une combinaison à répétition
de p objets parmi n + p - 1 objets .
Ce nombre est noté D(p,n) = C(p, n + p - 1) = (n + p - 1)!/p!(n - 1)!
Dans l'exemple 1 ci-dessus, p = 2 et n = 3 . Ainsi
les résultas sont en nombre de
D(2,3) = C(2, 3 + 2 - 1) = (3 + 2 - 1)!/2!(3 - 1)! = 4!/2!2! =
6 manières possibles de trouver le résultat cherché.
Expérience aléatoire sans ordre et avec répétition :
Combinaisons avec répétition:
D(p,n) = C(p, n + p - 1) = (n + p - 1)!/p!(n - 1)!