DNB Probabilités    
 
  Statistiques    
 
  Conversions    
 
  CombCalculator   
 
  Units   
 
  Optimisation  
 
  home  
 
  ask us  
 

 

Mathématiques
2







© The scientific sentence. 2010


Calculator

Combinatorics
Calculator


p objets parmi les n

p →
n →




Binomial Law
Calculator


probabilité p donnant k
succès en n répétitions

p →
k →
n →

          
          



Résultat:


Mathématiques 2: Analyse combinatoire
Sans ordre et avec répétition



Tirage sans ordre et avec répétition


1. Exemple 1

Combien de nombres à deux chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 3 et 5 de telle sorte que le quotient du chiffre des dizaines par le chiffre des unités soit plus petit ou égal à 1?

Nous avons en tout 3 chiffres et on veut fabriquer un nombre avec 2 chiffres de telle sorte que le quotient du chiffre des dizaines par le chiffre des unités soit plus petit ou égal à 1.

Ici l'ordre est annulé par la contrainte. 13 est retenu car (1/3) ≤ 1; mais 31 est exlus puisque (3/1) > 1.

Ici aussi, Le tirage est avec répétition puisque les nombres 11, 22, et 33 sont recherchés (le chiffre des dizaines et le chiffre des unités pouvant être le même).

La question posée est reformulée ainsi:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort deux billes d’une boite qui en contient trois, une verte, une rouge et une blue, sans ordre et avec remise.

1re bille tirée = chiffre des dizaines,
2e bille tirée = chiffre des unités.

Réponse : 9 nombres :
11, 13, 15, 33, 35, 55.

Le diagramme en arbre est le suivant:



2. Exemple 2

Nous avons une boîte où il ya 4 cartes: un pique, un coeur, un carreau et un trèfle.

On tire 6 fois. Chaque fois, on tire une seule carte. Le nombre de tirage 6 est plus grand que le nombre de cartes, donc il y a remise.

On s'interesse seulement aux résultats différents. Par exemple un tirage qui donne le résulta: (3 piques, 1 cœur, 0 carreau, 2 trèfles), et au autre qui donne le résultat (1 cœur, 0 carreau, 3 piques, 2 trèfles) sont les mêmes. Nous avons un tirage avec remise et sans ordre.

Ce qui est important dans ce genre d'expérience, c'est le nombre de chaque espèce obtenus après 6 tirages. C,est à dire combien de piques, de cœur, de carreau, et de trèfles qui sont sortis à la fin du tirage.

Si x1, x2, x3, et x4 sont respectivemenet les nombres de piques, de cœurs, de carreaux, et de trèfles qui sont sortis, on a toujours Σxi = 6 (i va de 1 à 4). Le xi peut prendre les valeurs de 0 à 6.

N'importe quel résultat de 6 tirages peut être représenté ainsi:
nombre de piques|nombre de cœurs|nombre de carreaux|nombre de trèfles,

ou

     ⋆⋆⋆⋆⋆⋆|⋆⋆⋆⋆⋆⋆|⋆⋆⋆⋆⋆⋆|⋆⋆⋆⋆⋆⋆

ou

              x1|x2|x3|x4

Voici quelqus sories qu'on peut avoir:



Nous avons, en tout besoin de 6 espaces et 4 - 1 = 3 barres pour représenter un résultat. Par exemple, si deux piques, 1 cœur, 0 carreaux, et 3 trèfles ont été tiré, on a la représentation suivante:

⋆⋆|⋆||⋆⋆⋆

Le problème revient à trouver le nombre de façons de placer ou de ranger 6 objets dans 9 places, ou dans un ensemble de 9 places, le nombre de façons de placer 6 objets ⋆. Ce qui revient aussi à chercher le nombre de sous-ensembles de 6 elements parmi un ensemble de rférence de 9 éléments. Ce nombre est le nombre de combinaisons de 6 objets parmi les 9 objets disponibles. Il vaut C(6,9) = 9!/6!(9 - 6)! = 84 manières différentes.



3. Cas général

Le nombre d'objets d'un résultat est égal au nombre de tirages où l'on tire un objet à chaque tirage. Ce nombre est noté p.

Le nombre d'objets différents sur lequels on effectue l'expérience aléatoire est noté n.

1er tirage → n possibilités
2e   tirage → n possibilités (puisqu'il y a remise)
...        →     ...
pe  tirage → n possibilités

p peut être supérieur à n puisqu'on tire avec remise. Au total, nous avons C(p, n + p - 1) combinaisons de p objets parmi les n + p - 1 objets disponibles.

L'expérience aléatoire avec remise et sans ordre de p objets parmis n est une combinaison à répétition de p objets parmi n + p - 1 objets . Ce nombre est noté D(p,n) = C(p, n + p - 1) = (n + p - 1)!/p!(n - 1)!

Dans l'exemple 1 ci-dessus, p = 2 et n = 3 . Ainsi les résultas sont en nombre de D(2,3) = C(2, 3 + 2 - 1) = (3 + 2 - 1)!/2!(3 - 1)! = 4!/2!2! = 6 manières possibles de trouver le résultat cherché.


Expérience aléatoire sans ordre et avec répétition :
Combinaisons avec répétition:


D(p,n) = C(p, n + p - 1) = (n + p - 1)!/p!(n - 1)!








  


chimie labs
|
Physics and Measurements
|
Probability & Statistics
|
Combinatorics - Probability
|
Chimie
|
Optics
|
contact
|


© Scientificsentence 2010. All rights reserved.