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Formule de Bayes

Mathématiques 45: Probabilités
Arbre pondéré
Probabilités conditionnelles
Événements indépendants




1. Présentation

Un arbre pondéré est l'arbre de probabilité de la prtition {A, } et de l'événement {B, }



est le contraire de l'évenemebr A. Le contraire d'un évenement est l'événement qui le complète pour avoir l'univers Ω. La partion ainsi formée est {A, }.

Nous avons toujours card(Ω) = 1.

Si card(A) = a, alors card() = 1 - a.

Une telle patition est souvent utilisée dans les cas d'évenements associés au fait de 2 deux cas de figures seulement: vrai ou faux. Par exemple, une pièce est défectueuse ou pas, ...

La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées par les branches.



2. Exemple 1

On a constaté dans un groupe de personnes, où la moitié est enrhumée, que
si une personne a un rhume, alors 2 fois sur 5 elle a aussi de la toux, et
si une personne n'a pas de rhume, alors 4 fois sur 5 elle n'a pas la toux.

On veut savoir:

a) la probabilité que, si une personne tousse, alors elle est aussi enrhuée, puis

b)la probabilité que, si une personne ne tousse pas, alors elle n'est pas enrhumée non plus.





2. Exemple 2


Une urne contient 5 boules rouges (R) identiques et 3 boules noires (N) identiques. On effectue deux tirages sans remise d'une boule à chaque fois.

a) Quelle est la probabilité que la première soit rouge et la deuxième noire?

b) Quelle est la probabiité que l'une des deux boules au moins soit rouge?

c) Sachant que l'une des deux boules au moins est rouge, quelle est la brobabilité que l'autre soit noire?

Réponse

a) La probabilité que la première soit rouge et la deuxième noire est

p(R∩N) = p(R) x p(N|R) = (5/8) x (3/7) = 15/56

b) La probabiité que l'une des deux boules au moins soit rouge est

p(R,R) + p(R,N) + p(N,R) = (5/8) x (4/7) + (5/8) x (3/7) + (3/8) x (5/7) = 25/28

c) Sachant que l'une des deux boules au moins est rouge, la brobabilité que l'autre soit noire est

p(l'autre est N|l'une des deux boules au moins est R) =
p(l'autre est N ∩ l'une des deux boules au moins est R) / p(l'une des deux boules au moins est R) =

[p(R,N) + p(N,R)] /[p(R,R) + p(R,N) = p(N,R)] = 3/5



3. Événements indépendants

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre.

Dans le cas de deux événements indépendants l'un de l'autre, la probabilité de l'un n'est pas affectée par la réalisation de l'autre. C'est souvent le cas d'une expérience aléatoire composée avec remise.

Lors d'une expérience aléatoire, si les événements A et B sont indépendants, alors on a p(A|B) = p(B) . Donc P(A∩B) = P(A) x P(B).

La probabilité de réalisation consécutive de deux événements indépendants A et B est donnée par

P(A∩B) = P(A) x P(B)










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