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Mathématiques 2: Probabilités géométriques



1. Variable continue et discontinue

1. Variable continue

Lorsqu'on lance un dé à 6 faces et on note les nombres impairs qui sortent. "Obtenir un résultat impair" est un événement discret. Une variable est dite disctète si on peut en dénombrer les résultats.

La variable aléatoire X : (obtenir un résultat impair) est une variable discrète car on peut en dénombrer les résultats, qui sont {1, 3, 5}.

La probabilité correspondante est égale à:
(nombre de cas favorables)/(nombre de cas possibles) = 3/6 = 1/2.



2. Variable discontinue



Une variable est dite continue si on ne peut pas en dénombrer les résultats.

Si on choisit au hasard un point sur le segment AD. Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ?

Ici, on ne peut pas dénombrer les cas favorables et les cas possibles, car il en existe une infinité.

La variable aléatoire X : (un point sur le segement [BC]) : est une variable continue car elle prend une infinité et non dénombrable valeurs.

Das ce genre de situations, on fait appel aux probabilités géométriques.



2. Définition


Le calcul des probabilités ne se limite pas au tirage au sort avec un dénombrement. Il inclu également les chances relatives aux endroits dans l'espace, qui nécessitant des mesures et font donc appel à la géométrie. Les probabilités correspondantes sont dites probabilités géométriques.

La probabilité mesurée sera donc un rapport de mesure de longueurs, de mesures d’angles, de périmètres, d’aires, ou de volumes. Ainsi la probabilité géométrique implique des calculs aussi bien dans l'espace à une dimension que l'espace à deux ou à trois dimensions.

Dans la plus part des cas, comme dans les exemples qui suivent, on considère toujours que les événements d’atteindre un endroit dans l'espace sont équiprobables.



3. Exemples

1. Probabilité à une dimension: Présence sur une longeur



On choisit au hasard un point sur le segment AD. Quelle est la probabilité que ce point se trouve sur le segment [BC] ?

Il s'agit d'un calcul de probabilité géométrique à une dimension.

Cette probabilité est égale à

P(sur le segment[BC]) = mes[BC]/mes[AD] = 2cm/9cm = 2/9.



2. Probabilité à deux dimensions
Présence sur une surface: jeu de flechette



On considère une cible circulaire de rayon 4 cm divisée en 3 zones annulaires séparées par des cercles concentriques de rayon 1 cm et 2.5 cm.

Au lancer de la fléchette, on veut savoir la probabilité que le joueur touche la cible dans la zone annulaire rouge comprise entre les cercles de rayons 1 cm et 2.5 cm.

La probabilité P(zone) que le fléchette touche cette zone annulaire est:

P(zone) = l'aire de cette zone/l'aire totale du disque.


L'aire de la zone = π(2.5)2 - π(1)2 =
π(6.25 - 1) = 5.25 π

L'aire totale du disque est π(4)2 = 16 π

Ainsi

P(zone) = 5.25π/16π = 5.25/16 = 0.33 = 33%.



3. Probabilité à trois dimensions
Balle dans une cavité sphérique



Une balle rebondit dans une cavité sphérique comprenant 8 autres balles collées ensemble. Toutes ses balles ont un même volume. Le volume de la cavité est 40 fois plus grand que le volume d'une balle.

Quelle est la probabilité de présence de la balle rebondissante dans l'espace qui lui est offert?

Volume de la balle = Vb
Volume de la cavité sphérique = Vc = 40 x Vb
Volume des 8 autres collées ensemble = V8 = 8 x Vb
Le volume de l'espace restant qui est offert à la balle rebondissante est: Vr = Vc - V8 = 40 Vb - 8 Vb = 32 Vb

La probabilité de trouver la balle rebondissante dans cet espace libre est donc:

P(balle) = Volume de la balle/l'espce qui lui est offert = Vb/32Vb = 1/32 = 0.03 = 3%



4. Probabilité à deux dimensions
La méthode de Monte-Carlo

4.1. Description

La méthode Monte-Carlo est couramment utilisée en mathématiques et en physique des particules.

Le nom de cette méthode fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo. Elle a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis.

Cette technique a pour but de founir des résultats probabilistes. Ces résultats sont approximatifs en raison des probabilités utilisées dans les calculs.

Elle consiste à trouver un modèle qui conduirait au résultat attendu, générer des nombres aléatoires, faire des itérations, et enfin donner le résultat.


4.2. Exemple: Calcul du nombre π


Dans cet exemple, on veut trouver la valeur du nombre π.

Cette technique consiste ici à:

- Modèle: Utiliser un carré et un cercle,
- Générer de nombres aléatoires sur le quart du cercle et sur le quart du carré, (nombres aléatoires = nombres au hasard = random numbers)
- Faire le rapport de ses nombres,
- Trouver la valeur approximative du nombre π.

La zone qui correspond au quart de la surface du carré, et dont l'aire vaut As = 1/4, sera atteinte par Ns nombres aléatoires.

La zone qui correspond au quart de la surface du cercle, et dont l'aire vaut Ac = π/4, sera atteinte par Nc nombres aléatoires.

Ainsi le rapport des aires des surfaces est égal au rapport des nombres aléatoires qui ont atteint les deux surfaces.

C'est à dire:

Ac/As = Nc/Ns = π

Ce qui donne une valeure approximative du nombre π.

Plus on génére des nombres, plus le résultat est précis.


4.3. Programme relatif

Ce programme en php utilise la méthode Monte-Carlo pour donner une valeur approximative du nombre π.


Le nombre d'itérations est fixé à 100 000. Pour une telle même valeur, le résultat donnée fluctue puisque les nombres alétoires générés fluctuent (appyer plusieurs fois sur le bouton pi).








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