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© The scientific sentence. 2010


Mathématiques:
Problèmes compétence disciplinaire 1 (CD1)






Problème compétence disciplinaire 1

La calculette est permise.
Le cellulaire est strictement interdit.
Les résultats seront arrondis au centièmes près.
Laisser toutes traces de vos démarches.
Durée 2 heures.
Rédiger avec clarté. Une note de 5% sera allouée à la présentation.






Présentation


La Joaillerie-bijouterie Oreilles Inc propose des joyaux sous différentes formes de taille, principalement du diamant. Le diamant proprement dit est un composé de carbone. Il est rare et cher.

Elle propose aussi du zircon qui est en fait du silicate de zirconium. Cette pierre précieuse, une fois chauffé et taillé, devient très brillante. C'est une alternative pour le diamant. Le zircon est fragile et d'un prix abordable.

La joaillerie propose également différentes sortes de bijoux sous différentes formes.


La mass volumique (densité) du diamant est de 3520 kg/m3.
1 carat = 0,20 grammes.



Partie I : taille héxagonale d'un diamant


Voici une taille simple d'un diamant. Elle comporte:

• Une petite base appelé table qui mesure 55%,
• Une grande base dite rondiste de mesure 100%,
• Une couronne de mesure 16%, et
• Une culasse de mesure 43%.

Le diamètre d'un diamant fait référence à la diagonale du rondiste.
L'épaisseur (profondeur) du rondiste est négligeable.

Les pourcentages sont relatifs au diamètre du diamant, c'est à dire la taille du rondiste.

Dans la figure, le diamètre du diamant est égal à la diagonale de l'hexagone.

On considère un diamant de 0.70 carat, de diamètre 5.8 mm.

a) compléter le tableau suivant:

partie du diamant table couronne culasse diamètre total (du rondiste)
pourcentage ... ... ... 100%
dimension (mm) ... ... ... 5.8

b) Prouver que le triangle BCG est équilatéral.

c) En utilisant la propriété de Pythagore, déterminer la mesure de l'apothème [IG].

d) En déduire l'aire de l'hexagone ABCDEF qui est l'aire du rondiste.

Les deux héxagones qui sont la table et le rondiste sont des surfaces parallèles. La table est une réduction du rondiste.

e) Calculer le rapport de similitude k (de réduction)

f) Calculer l'aire de la table.

g) À partir de l'aire de la table et celle du rondiste, en déduire le volume de la couronne. Utilser la formule suivante:

h est la hauteur de la couronne, b l'aire de la table, et B l'aire du rondiste.

f) Calculer le volume de la culasse.

g) En déduire le volume total du diamant.

La masse volumique (densité) du diamant est de 3520 kg/m3. C'est à dire : masse(en kg)/volume (en m3) = 3520.

h) Calculer la masse du diamant.

i) Convertir cette masse en carats.

j) Calculer son prix à 3000 $ le carat.


↓Réponse↑

a)

partie du diamant table couronne culasse diamètre total (du rondiste)
pourcentage 55% 16% 43 100%
dimension (mm) 3.19 0.93 2.49 5.8

b) Les côtés au sommet G des six triangles de l'héxagone ont tous la même valeur = 5.8/2 = 2.9 mm. Ces six triangles sont tous isocèles. Leurs angles à la base sont isométriques.

Les angles au sommet de ses six triangles valent 360o/6 = 60o chacun. D'après la propriété la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180o, on en déduit que les angles de chaque triangle de l'héxagone valent 60o chacun. Ces triangles sont donc équilatéraux.

Par conséquent les côtés de chaque triangle sont isométriques. Ainsi

Chaque côté de l'héxagone vaut 2.9 mm .

c) Dans un triangle équilatéral, la hauteur et la médiane sont confondues.

Le segment [BG] est donc hauteur et médiane. Par conséquent, I est le milieu de [BC].

La propriété de Pythagore s'ecrit:

CG2 = IG2 + IC2
IG2 = CG2 - IC2 = (2.9)2 - (2.9/2)2 = 6.31.
IG = 2.51 mm

L'apothème IG = 2.51 mm

d) L'aire de l'hexagone ABCDEF qui est l'aire du rondiste.
Elle est égale à can/2 = 2.9 x 2.51 x 6 /2 = 21.84 mm2

L'aire du rondiste est égale à = 21.84 mm2

Les deux héxagones qui sont la table et le rondiste sont des surfaces parallèles. La table est une réduction du rondiste.

e) Le rapport de similitude k (de réduction) est égal à:

(diamètre de la table)/(diamètre du rondiste) = 50%/100% = 0.50

Le rapport de similitude (de réduction) k = 0.50

f) L'aire de la table se calcule par le carrée du rapport de similitude:

(l'aire de la table)/(l'aire du rondiste) = k2 = (0.50)2 = 0.25 . D'où :

l'aire de la table = (l'aire du rondiste) x 0.25 = 21.84 x 0.25 = 5.46 mm2

L'aire de la table = 5.46 mm2

g) La couronne est une pyramide héxagonale tronquée. À partir de l'aire de la table et celle du rondiste, on calcule le volume de la couronne Vc suivant la formule suivante:

h est la hauteur de la couronne = 0.93 mm,
b l'aire de la table = 5.46 mm2, et
B l'aire du rondiste = 21.84 mm2.

Vc = 0.93 x [5.46 + 21.84 + √(5.46 x 21.84)]/3 = 11.84 mm3

Le volume de la couronne = 11.84 mm3

h) La culasse est une pyramide hégaxonale. Son aire de base est l'aire du rondiste = 21.84 mm2. Sa hauteur = 2.49 mm.

Le volume de la culasse est égal à : (l'aire de base) x hauteur /3 =
21.84 x 2.49/3 = 18.13 mm3

Le volume de la culasse = 18.13 mm3

i) Le volume total du diamant est égal au volume de la couronne + le volume de la culasse = 11.84 + 18.13 = 29.97 mm3

Le volume total du diamant = 29.97 mm3



Partie II : Masse du diamant: Proportions

Problème 1

La masse volumique (ou densité) d'une substance est égale au quotient de sa masse m par son volume V. Elle se note ρ . On ecrit donc:

ρ = m/V

L'unité SI de la masse volumique est le kg/m3.

Les masses volumiques des substances sont mesurées et tabulées.
La masse volumique du diamant est égale à 3520 kg/m3.
C'est à dire, pour le diamant: masse(en kg)/volume (en m3) = 3520.

a) Le quotient m/v est-il un rapport ou un taux? Justifier.

b) Convertir ρ en g/mm3.

c) Un carat = 0.20 g. Convertir alors ρ en carats/mm3

d) Si le volume V est en mm3, montrer que la masse m s'exprime, en carats, par:

m = 1.76 x 10- 2 x V

Utiliser les propriétés des puissances de 10 et la notatation scientifique.

e) La formule précédente comporte une mantisse et une puissance de 10. Expliquer pourquoi cette forme d'ecriture est une notation scientifique.

f) En déduire que le volume V, en mm3, s'exprime dépendamment de la masse m, en carats, par :

V = 56.82 m3

g) Compléter alors le tableau de valeurs suivant qui montre la relation entre la masse m du diamant, en carats, et son volume V en mm3.


m 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30
V ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...


g) La relation entre V et m est-elle une fonction? Justifier.

h) Cette situation est-elle une situation de proportionnalté? Justifier.

i) Si oui, quel est le coefficient de proportionnalité?

j) Donner la représentation graphique de la fonction linéaire f telle que
y = f(x) où x est la masse m et y le volume V.

k) À partir du graphique, trouver le volume d'une masse de 0.55 carat.

l) À partir du graphique, trouver la masse d'un volume de 65.34 mm3.

m) Calculer alors son prix à raison de 14 000 $ le carat.



Problème 2

Tom a acheté un diamant brillant rond de 0,41 carat à 2000 $. Il est convenu de payer cette somme en mode de versements égaux fléxibles de durée maximale de 10 mois.

a) Compléter alors le tableau de valeurs suivant qui montre le prix Pr payé, en $, selon le mode Mo, en mois, de versements choisi.


Mo (mois) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pr ($) 2000 ... ... ... 400 ... ... ... ... 200


b) La relation entre Pr et Mo est-elle une situation de proportionnalté? Justifier.

c) Exprimer le produit Pr x Mo ?

d) Donner la représentation graphique de la fonction f telle que
y = f(x) où x est le nombre de mois du mode de payements choisi et y le prix à payer.

e) À partir du graphique, trouver le prix qui correspond à un mode de versements égaux de 7 mois.


↓Réponse↑
Problème 1

Nou avons

ρ = m/V

La masse volumique du diamant est égale à 3520 kg/m3.

a) Le quotient est un taux puisque c'est le quotient de deux grandeurs de nature différentes. La masse et le volumes sont des grandeurs différentes.

b)kg/m3 = 103 g/ 109 mm3 = 10- 6 g/ mm3

kg/m3 = 10- 6 g/ mm3

D'où:

ρ = 3520 x 10- 6 g/ mm3

c) Un carat = 0.20 g. Donc g = ct/0.2 = 5 ct.

g = 5 ct

Donc

ρ = 5 x 3520 x 10- 6 ct/ mm3 = 17600 x 10- 6 ct/ mm3.

En notation scientifique:

ρ = 1.76 x 10- 2 ct/ mm3

d) ρ = m/V, donc m = ρ x V. Si le volume V est en mm3, la masse m s'exprime, en carats, par:

m = 1.76 x 10- 2 x V

e) La formule précédente comporte une mantisse = 1.76 d'UN seul chiffre dans la partie entière, suivi d'un x, suivi d'une puissance de 10. Cette forme d'ecriture est bien une notation scientifique.

f) m = 1.76 x 10- 2 x V Donc

V = m/1.76 x 10- 2 = m x 56.82 m3.

V = 56.82 x m m3
V en mm3 et m en carats.

g) Tableau de valeurs: la masse m du diamant, en carats, et son volume V en mm3.

m (cts) 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30
V (mm3) 22.73 28.41 34.10 39.77 45.46 51.14 56.82 62.50 68.18 73.87

g) Pour chaque valeur de m, il correspond UNE seule valeur de V. Ainsi la relation entre V et m est une fonction. Justifier.

h) Cette situation est une situation de proportionnalté puisque pour chaque valeur de m il lui correspond une valeur de V obtenu par multiplication par un même coefficient. Autrement dit le rapport V/m est une constante.

Ainsi, la représentation graphyque de cette situation est une droite qui passe par l'origine des coordonnées.

i) Le coefficient de proportionnalité est égal à V/m = 56.82.

j) Ce coefficient k = 56.82 est le taux de variation de la fontion V = f(m). C'est la pente de la droite qui représentation graphiquement la fonction linéaire f elle que y = f(x) où x est la masse m et y le volume V.



k) À partir du graphique, le volume d'une masse de 0.55 carat est
environ 32 mm3.

l) À partir du graphique, la masse d'un volume de 65.34 mm3
est environ 1.14 carats.

m) Le prix de ce diamant, à raison de 14 000 $ le carat, est
14 000 x 1.14 = 15 960 $.



Problème 2

Tom a acheté un diamant brillant rond de 0,41 carat à 2000 $. Il est convenu de payer cette somme en mode de versements égaux fléxibles de durée maximale de 10 mois.

a) Tableau de valeurs suivant qui montre le prix Pr payé, en $, selon le mode Mo, en mois, de versements choisi.

Mo (mois) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pr ($) 2000 1000 666.67 500 400 333.33 285.71 250 222.22 200

b) La relation entre Pr et Mo n'est pas une situation de proportionnalté puisque le rapport Pr/Mo n'est pas constant. C'est plutôt une situation de proportionnalité inverse parce le produit Pr x Mo est constant.

c) Ce produit Pr x Mo = 2000.

d) La représentation graphique de la fonction f telle que
y = f(x) où x est le nombre de mois du mode de payements choisi et y le prix à payer est une hyperbole qui ne coupe pas les axes des coordonnées.



e) À partir du graphique, le prix qui correspond à un mode de versements égaux de 7 mois est environ 290.00 $.



Partie III : taille ronde et taille poire

La Joaillerie Oreilles Inc propose aussi des diamants taillés rond et en poire.

Le diamant taillé rond est une sphère. La diamant en poire est assimilé à un cône dont la base est une demi- sphère de même diamètre que celui de la base du cône.

Voici ces deux modèles:



Les deux diamants ont le même volume et la même pureté.

Le rayon r de la sphère doit être, en mm, une fraction x/y, dont:
• le numérateur x est est un entier impair, inférieur à son double diminué de 12 , et
inférieur au tiers de son double augmenté de 5.
• le dénominateur y est un entier vérifiant l'équation y = x - 8


a) Calculer le numérateur x et le dénominateur y et montrer que le rayon est en fait égal à 2.6 mm .
b) Calculer la hauteur du cône
c) Calculer l'aire totale du diamant rond
d) Calculer l'aire totale du diamant poire
e) Calculer le volume d'un diamant
f) Calculer la masse des deux diamants en carats


↓Réponse↑

a) 1. Calcul du numérateur x

x < 2x - 12 → x > 12
x < 2x/3 + 5 → 3x < 2x + 15 → x < 15

On obtient donc un système de deux inéquations:

x > 12
x < 15

Qui se réduit à l'encadrement suivant: 12 < x < 15 .

Les entiers 13 et 14 sont les deux solutions du système des deux inéquations. Mais seul 13 est impair, donc le numérateur x vaut 13.

x = 13

2. Calcul du dénominateur y:

y = x - 8 = 13 - 8 = 5.

y = 5

Donc r = x/y = 13/5 = 2.6 mm.

Le rayon r de la sphère vaut 2.6 mm.

b) Hauteur du cône

Le volume de la sphère est égal au volume de la poire. La poire est formée d'une demi-sphère est d'un cône de même rayon. Donc le volume du cône est égal au volume de la demi-sphère.

Le volume du cône Vc est égal à πr2 x h/3. r est son rayon de base et h sa hauteur.

Le volume de la sphère Vs est égal à 4πr3/3. r est son rayon.

Donc: Vc = Vs/2

πr2 x h/3 = [4πr3/3]/2 = 2πr3/3

πr2 x h/3 = 2πr3/3

On simplifie l'équation et l'on obtient: h = 2 r

Donc

h = 2 r = 2 x 2.6 = 5.2 mm.

h = 5.2 mm

c) L'aire totale du diamant rond de rayon r est égale
4πr2 = 4 x π x (2.6)2 = 84.95.

L'aire totale du diamant rond = 84.95 mm2

d) L'aire totale At du diamant poire est égale à l'aire latérale de la demi-sphère As plus l'aire latérale du cône Ac.

As = (l'aire totale du diamant rond)/2 = 84.95/2 = 42.47 mm2

Ac = π x r x g.
r est le rayon du cône et g sa génératice.

À l'aide de la propriété de Pythagore, on calcule g:

g2 = h2 + r2 = (5.2)2 + (2.6)2 = 33.80

g = √80 = 5.81 mm

g = 5.81 mm

Ac = π x 2.6 x 5.81 = 47.49
At = As + Ac = 42.47 + 47.49 = 89.96

L'aire totale du diamant poire = 98.96 mm2

e) Volume d'un diamant

D'après les données du problème, le diamant rond et le diamant poire ont le même volume V.

V = (4/3)πr3 = (4/3) x π x (2.6)3 = 73.62

Le volume de chaque diamant = 73.62 mm3

f) Masse des deux diamants en carats

Les deux diamants ont la même pureté et le même volume. Ils ont donc la même masse m.

D'après le résultat du d) Problème I Partie II, on a:

m = 1.76 x 10- 2 x V

V est en mm3 et m en carats.

m = 1.76 x 10- 2 x 73.62 = 1.29 carats.

La masse de chaque diamant = 1.30 carats



Partie IV : Prix des diamants

m (cts)P (k$)
0.30 0.65
0.40 0.92
0.50 2.30
1.00 4.44
1.31 5.03
1.50 7.478
2.02 9.67
2.51 22.00
3.00 29.08
4.03 42.40
5.01 50.00
6.01 62.31


Il faut dix tonnes de minerai pour extraire seulement un carat de diamant.

Un diamant de deux carats a une valeur supérieure à deux diamants d’un carat chacun. La valeur d’un diamant n'est pas proportionnelle à sa masse. Un diamant de plusieurs carats est cher parce qu'il est plus rare.

La valeur d'un diamant dépend de ses nombres de carats, de la forme de sa taille, de sa couleur, et de sa pureté.

La couleur d'un diamant peut être:

incolore, presque incolore, nuancé de jaune, jaune très clair, jaune clair, et jaune.

La pureté d'un diamant est défini par le quantité d'inclusions (impuretés) que le diamant peut contenir. Moins il contient d'inclusions, plus il est pur.
La pureté d'un diamant défini sa qualité, appelée aussi le "grade" du diamant. On distingue un diamant:

• Pur à la loupe 10x IF
• Très très légèrement inclus VV S1 et VV S2
• Très Légèrement inclus VS1 et SV2 localisable sous un grossissement 10X
• Légèrement inclus SI1 et SI2
• Imparfait P1 I1
• Imparfait P2 I2
• Imparfait P3 I3

La forme ronde et brillante est la plus populaire de diamant. Plus de 75% des diamants vendus sont de forme ronde et brillante. Cette forme est reconnue pour le maximum de brillance réalisée par la coupe de 58 facettes.


Selon le tableau qui représente le prix approximatif P($) d'un diamant brillant rond suivant sa masse m en carats:

a) Les prix sont-ils proportionnels aux poids du diamant? Justifier.
b) Estimer le prix du diamant rond considéré à la partie III.

Une escompte de 15% est accordée aux diamants ronds de 6,01 carats.
c) Estimer alors le prix après escompte d'un de ces diamants.


↓Réponse↑

a) Les prix ne sont pas proportionnels aux poids du diamant. Il n'existe pas de relation ou de coefficient de proportionnalité entre la masse et le prix d'un diamant.

Le prix d'un diamant est déterminé en fonction de ses attributs qui sont la couleur, la pureté, la taille et le poids en carat. Le prix dépend aussi des tendances et des fluctuations du marché.

b) La masse du diamant calculée dans la partie III est de 1.30 carats. À partir du tableau des valeurs, on estime le prix du diamant rond de 1.30 carats à 50,000.00 $.

Une escompte de 5% est accordée aux diamants ronds de 6,01 carats.
c) Le prix d'un diamant de 6.01 carats est d'environ 62,000.00. Avec l'escompte accordée, ce prix devient: 62,000.00 - 62,000.00 x 15% = 62,000.00 - 9300.00 = 52,700.00 $.



Partie V : Prix des diamants selon leurs formes


Voici le prix en $ du diamant 1.30 carats suivant le nombre de ses faces taillées:


nombre de faces 4 6 8 12 20
nom du solide tétraèdre hexaèdre (ou cube) octaèdre dodécaèdre icosaèdre
prix ($) 3200 4800 6400 9600 16000


Exercice 1

a) représenter sur un repère cartésien la courbe du prix du diamant selon le nombre de faces.

b) Cette courbe représente-t-elle une fonction? Justifier.

c) Déterminer le domaine de définition de cette fonction, son codomaine, son ordonnée à l'origine, son abscisse à l'origine, et ses extremas.

d) Calculer le taux de variation de cette fonction.

e) Cette fonction est-elle croissante, déroissante? Justifier.

f) Quelle est la variation de cette fonction ? variation directe ou variation partielle? Justifier.

f) Déterminer la règle de cette fonction

g) Déterminer, si c'est possible la nature du solide qui couterait 5500$.

h) Le prix en fonction de la forme d'un diamant représente-t-elle une situation de proportionnalité? Justifier.


Exercice 2

On accorde une remise de 1,500.00 $ sur tous les diamants.

a) représenter sur le même graphe la courbe du prix total (diamant et remise) selon le nombre de faces.

b) Quelle est la variation de cette fonction ? variation directe ou variation partielle? Justifier.

c) Déterminer la règle de cette fonction.

d) Déterminer, si c'est possible la nature du solide qui coûterait 8100$.

e) Le prix en fonction de la forme d'un diamant représente ne présente pas une situation de proportionnalité parce que la fonction est affine et sa droite ne passe pas par l'origine des coordonnées.


↓Réponse↑

Exercice 1

a)


b) Cette courbe représente bien une fonction, puisqu'à chaque valeur, de la variable indépendente = nombre de faces, correspond UNE seule variable dépendente = prix du diamant.

c) • Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemle en extention suivant: D = {4, 6, 8, 12, 20}.
• Son codomaine est l'emble des réels positifs = R+.
• Son ordonnée à l'origine est 0.
• Son abscisse à l'origine est 0.
• Son minimum est le point (0,0) et le mximum est (20, 16 000).

d) Le taux de variation "a" de cette fonction se calcule comme suit: On prend deux points, par exemples: (12, 9600) et (6, 4800), et on calcule le rapport a = Δy/Δx = (9600 - 4800)/(12 - 6) = 4800/6 = 800.

e) Cette fonction est croissante parce que le taux de variation est "a" est positif.

f) La variation de cette fonction est une variation directe parce que le fonction est linéaire.

f) La règle de cette fonction est y = 800 x.

g) La nature du solide qui couterait 5500 $ se calcule comme suit:

5500 = 800 x . D'où x = 5500/800 = 6.86. Il n'existe pas de solide avec ce nombre de faces. L'équation posée n'a pas de solution.

h) Le prix en fonction de la forme d'un diamant représente bien une situation de proportionnalité, puisque la fonction est de variation directe, la fonction est linéaire, et la droite de cette fonction passe par l'origine des coordonnées.

Exercice 2

On accorde une remise de 1,500.00 $ sur tous les diamants.

a) Le même graphe de la courbe du prix total (diamant et remise) selon le nombre de faces est représentée (en bleu).

b) La variation de cette fonction est variation partielle parce que la fonction est affine.

c) La règle de cette fonction est y = 800 x - 1500

d) La nature du solide qui couterait 5500 $ se calcule comme suit:

8100 = 800 x - 1500 . D'où x = (8100 + 1500)/800 = 12. Le solide avec ce nombre de faces est un dodécaèdre.

e) Le prix avec remise en fonction de la forme d'un diamant ne représente pas une situation de proportionnalité, puisque la fonction est de variation partielle, la fonction est affine, et la droite de cette fonction ne passe pas par l'origine des coordonnées.



Partie VI : probabilités sur les zircons


La Joaillerie Oreilles Inc propose aussi des zircons.

À partir d'une boîte, contenant 12 zircons canelle (C), 10 zircons safran (S), et 8 zircons de ratanakiri (R), on fait trois tirages succéssifs et sans remise.

On tire au hasard, un zircon, suivi d'un deuxième, et suivi d'un troisième.

a) Dresser le diagramme en arbre des tirages des zircons.

b) Compléter ce diagramme pour avoir l'arbre des probabilités des tirages.

c) Au deuxième tirage, quelle est la probabilité de tomber sur un C puis un R, avec ordre?

d) Au deuxième tirage, quelle est la probabilité de tomber sur un C puis un R, sans ordre?

e) Au troisième tirage, quelle est la probabilité d'avoir un C puis un R, puis encore un R?

f) Au troisième tirage, quelle est la probabilité d'avoir au moins deux S ?

g) Au troisième tirage, quelle est la probabilité d'avoir au plus un S ?


↓Réponse↑

a) Le diagramme en arbre des tirages des zircons est représenté.



b) Ce diagramme est complété pour avoir l'arbre des probabilités des tirages.

c) Au deuxième tirage, la probabilité de tomber sur un C puis un R, avec ordre est 2/5 x 8/29 = 16/145

d) Au deuxième tirage, la probabilité de tomber sur un C puis un R, sans ordre est égale à 2/5 x 8/29 + 4/15 x 12/29 = 16/145 + 48/435 = 16/145 + 16/145 = 32/145.

e) Au troisième tirage, la probabilité d'avoir un C puis un R, puis encore un R est égale à P(CRR) = 2/5 x 8/29 x 7/28 = 112/4060.

f) Au troisième tirage, la probabilité d'avoir au moins deux S est égale à P = P(deux S ou plus) = P(CSS) + P(SCS) + P(SSC) + P(SSS) + P(SSR) + P(SRS) + P(RSS).

g) Au troisième tirage, la probabilité d'avoir au plus un S est égale à la somme des probabilités des résultats avec UN seul S ou rien = 1 - P(2S ou plus).



Partie VII : Statistiques sur les diamants et les zircons


Voici, les différentes formes de taille de diamants que possède la joaillerie Oreilles Inc:


On fait le bilan des diamants, et on obtient:

prix du diamant 1800 2000 3500 5000 8200 11000 15000 17000
nombre de diamants 48 96 26 14 32 10 68 6

On fait le bilan des zircons, et on obtient:

prix du zircon 550 1000 3300 300 4200 5000
nombre de zircons 36 44 30 34 28 28

Pour les diamants

a) Calculer le prix moyen des diamants
b) Calculer l'étendue de leur série statistique
c) Calculer le mode
d) calculer la médiane
e) Calculer les quartiles
f) Calculer l'étendue interquartile


Pour les zircons

a) Calculer le prix moyen des zircons
b) Calculer l'étendue de leur série statistique
c) Calculer le mode
d) calculer la médiane
f) Calculer l'étendue interquartile


Voici deux diagrammes de quartiles représentant les recettes des diamants et des zircons de la joaillerie Oreilles Inc.

Questions générales par rapport au diagramme de quartiles ci-dessus:
1. Combien de données, en pourcentage, sont inférieures à Q3 pour les diamants?
2. Dans quel groupe les données sont plus homogènes?
3. Dans quel groupe les données sont plus hétérogènes?
4. Dans quel groupe y a-t-il le plus de joyaux dispendieux ?
5. Dans quel groupe l’étendue interquartile est la plus petite?


↓Réponse↑

Pour les diamants

a) Le prix moyen des diamants est 6446 $.
b) L'étendue de leur série statistique est 15200 $.
c) Le mode est 2000 $

Série rangée :
1800,2000,3500,5000,8200,11000,15000,17000
Ses effectifs:
48,96,26,14,2,10,8,6

d) La médiane est 3500 $.
e) Les quartiles Q1 = 2000 $ Q3 = 11000 $
f) L'étendue interquartile est 9000 $.


Pour les zircons

a) Le prix moyen des zircons est 2153 $.
b) L'étendue de leur série statistique est 4700 $.
c) Le mode est 1000 $

Série rangée :
300,550,1000,3300,4200,5000
Ses ffectifs :
34,36,44,30,28,28

d) La médiane est 1000 $.
Q1 = 550 et Q3 = 4200
f) L'étendue interquartile est 3650 $.


Diagrammes de quartiles représentant les recettes
des diamants et des zircons de la joaillerie Oreilles Inc:



1. En pourcentage, pour les diamants, 75% de données sont inférieures à Q3.

2. L'étendue de la série statistique des diamants est 15200 $.
L'étendue de la série statistique des zircons est 4700 $.
Dans le groupe des zircons, les données sont plus homogènes.

3. Dans le groupe des diamants, les données sont plus hétérogènes.

4. C'est dans le groupe des diamants qu'il y a le plus de joyaux dispendieux.

5. Pour les diamants, l'étendue interquartile est 9000 $.
Pour les zircons, l'étendue interquartile est 3650 $.
C'est dans le groupe des zircons que l’étendue interquartile est la plus petite.



Partie VIII : Probabilités sur les diamants



Pour une journée de vente où on comptait 120 clients, on considère les 4 types de diamants: Coeur, rond, poire, et marquise .


2. Les effectifs

a) Compléter le diagramme de Venn selon les propositions suivantes:

• Le nombre des clients qui ont acheté des diamants poire est 58.

• Le nombre des clients qui ont acheté :
- seulement des diamants coeur est 30.
- seulement des diamants poire est 12.
- seulement des diamants rond est 22.

• Le nombre des clients qui ont acheté des diamants poire et des diamants coeur est 26.
• Il y a autant les clients qui ont acheté des diamants poire et des diamants coeur que de clients qui ont acheté des diamants rond et des diamants poire.
• Le nombre des clients qui ont acheté au moins deux joyaux est 50.



2. Les probabilités

Si on choisit un client au hasard parmi les 120 clients considérés, quelle est la probabilité que le client:

• a acheté uniquement des diamants coeur?
• a acheté des diamants poire ?
• a acheté exactement des diamants ?
• a acheté des diamants marquise ou n'a rien acheté du tout ?
• n'a rien acheté ?
• a acheté des diamants rond ou des diamants coeur?
• a acheté un seul type de diamants?
• a acheté au moins un type de diamants?
• a acheté un diamant rond?


↓Réponse↑



1. Les effectifs

On a:

x1 + x2 + x3 + 12 = 58
x1 + x2 = 26

Donc 26 + x3 + 12 = 58 . D'où
x3 = 20

x1 + x2 = x2 + x3
Donc x1 = x3
x1 = 20

D'où: x2 = 26 - x1 = 26 - 20 = 6
x2 = 6

x1 + x2 + x3 + x4 = 50
D'où x4 = 50 - (20 + 6 + 20) = 50 - 46 = 4
x4 = 4

Le reste = 120 - (12 + 22 + 30 + 20 + 6 + 20 + 4) =
120 - 114 = 6 diamants marquise, ou autres ou rien.

2. Les probabilités

Si on choisit un client au hasard parmi les 120 clients considérés, quelle la probabilité que le client:

• a acheté uniquement des diamants coeur est 30/120 = 1/4 .

• a acheté des diamants poire est (12 + 20 + 6 + 20)/120 = 58/120 = 29/60 .

• a acheté exactement des diamants est (20 + 6 + 4)/120 = 30/120 = 1/4 .

• a acheté des diamants marquise ou n'a rien acheté du tout est 6/120 = 1/20 .

• n'a rien acheté est 6/120 = 1/20 .

• a acheté des diamants rond OU des diamants coeur est [(22 + 4 + 6 + 20) + (30 + 20 + 6 + 4) - (4 + 6)]/120 = [52 + 60 - 10]/120 = 102/120 = 51/60.

On n'oublie pas que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

• a acheté un seul type de diamants est (22 + 30 + 12)/120 = 64/120 = 8/15 .

• a acheté au moins un type de diamants est P(un ou plus) = 1 - P(n'a rien acheté) = (120 - 6)/120 = 114/120 = 57/60.
C'est égal à (12 + 22 + 30 + 20 + 6 + 20 + 4)/120 .

• a acheté un diamant rond est (22 + 4 + 6 + 20)/120 = 52/120 = 13/30 .



Partie IX : Statistiques sur les diamants



La joaillerie Oreilles Inc possède en tout 11 coffres pour ses diamants de différentes formes: rond (R), princesse(P), asscher (A), oval (O), émeraude (E), coeur (C), marquise (M), triangle (T), poire (Po), radiant (Ra), et coussin (Co).

On n'a pas comptabilisé le contenu des 6 coffres des diamants (M), (P), (Pa), (C), (O) et (T).

Voici le tableau à compléter:

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ty M C P R Ra Pa C O T A E
N ... 32 ... 47 48 ... ... ... ... 85 96


No est le numéro du coffre,
Ty est le type de diamant, et
N est le nombre de diamants dans le coffre de numéro No.


On a construit une série statistique à l'aide des nombres de diamants dans les coffres. Sur un document, on peut lire les informations concernant les caractéristiques de cette série statistique :

Étendue de la série = 67
Q1 = 34, Me = 51, Q3 = 75
Moyenne de la série = 58
Mode de la série = 75


↓Réponse↑

La série statistique est déjà rangée. Le caractère de la série statistique est un nombre.

N x1 32 x3 47 48 x6 x7 x8 x9 85 96

L'étendue de la série vaut 67 , elle est égale à la plus grande valeur - la plus petite valeur. Donc 96 - x1 = 67
D'où x1 = 96 - 67 = 29

x1 = 29

Il ya 11 nombres en tout, c'est l'effectif total.
11 est impair, donc Me = valeur du (11/2 + 1)eme rang, c'est à dire le 6eme rang, qui est 51. Donc x6 = 51

x6 = 51

Q3 est la valeur du 9e rang. Donc x9 = 75.

x9 = 75

Q1 est la valeur du 3e rang. Donc x3 = 34.

x3 = 34

Le mode de la série est 75. Donc x8 = 75.

x8 = 75

Moyenne de la série = 58 = (29 + 32 + 34 + 47 + 48 + 51 + x7 + 75 + 75 + 85 + 96)/11
Donc
58 = (572 + x7)/11
x7 = 66

x7 = 66

N 29 32 34 47 48 51 66 75 75 85 96



Partie X : Payment des factures


La joaillerie Oreilles Inc veut réduire le retard sur les payements des achats des clients. Pour cela, elle impose des interêts sur les retards des reglements des factures. Ces interêts sont calculés selon les critères suivants :

Des frais fixes de base auxquels s'ajoute une somme reliée au nombre de jours dépassant la date limite.

Des renseignements concernant les interêts payés par trois clients sont donnés dans le tableau ci-dessous:

Nom Nombre de jours dépassant la date d'échéance interêts payés
Tia 30 145
Jina 40 185
Jim 60 265

Tom doit payer des interêts de 105 $ sur son achat qu'il avait effectué il ya 70 jours.

a) De combien de jours Jim a-t-il dépassé la date d'échéance au moment où il décide de regler sa facture?

b) Quelle est alors cette date d'échéance?

Laissez les traces de vos démarches.

Voici des indications portées sur le graphique suivant:



↓Réponse↑


La fonction de la situation est affine, d'équation:

y = a x + b

On calcule le taux de variation:

a = (185 - 145)/(40 - 30) = 4

On calcule l'ordonnée à l'origine:

265 = 4 x 60 + b. Donc b = 265 - 240 = 25

Finalement:

y = 4 x + 25

a) Tom doit payer des interêts de 105 $ sur son achat qu'il avait effectué il ya 70 jours.

105 = 4 x + 25. D'où x = (105 - 25)/4 = 20

Le nombre de jours dépassant la date d'échéance est donc égal à 20.

b) La date d'échéance est 70 - 20 = 50 jours.

La date d'échéance est égale à 50 jours.








  


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