Algèbre:

Les trois formes de la fonction quadratique

La fonction quadratique se présente sous une forme générale, canonique ou factorisée.

1. Les trois formes de la fonction quadratique

1.1. La forme canonique

f(x) = a(x - h)² + k

• Le paramètre a est non nul. Il permet de déterminer l'ouverture de la parabole et sa courbure.

• Les paramètres h et k représentent les coordonnées du sommet: h est l'abscisse et k est l'ordonnée de ce sommet

• Si la valeur de -k/a est négative, alors la fonction n'a pas de zéro.

1.2 La forme factorisée

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

• Le paramètre a est non nul. Il permet de déterminer l'ouverture de la parabole et sa courbure.

• Les paramètres x₁ et x₂ représentent les zéros de la fonction quadratique.

• Si la fonction ne possède pas de zéro, elle ne peut pas s'exprimer sous la forme factorisée.

1.3. La forme générale

f(x) = ax² + bx + c

a, b et c sont des paramètres.

La forme générale est une forme développée de la forme canonique et de la forme factorisée.

• Le paramèter a est non nul. Il permet de déterminer l'ouverture de la parabole et sa courbure.

• Le paramètre c représente l'ordonnée à l'origine de la fonction quadratique.

• Si la valeur du discriminant b² - 4ac est négative, la fonction n'a pas de zéro; et donc pas de forme factorisée.

2. Passage d'une forme à l'autre

2.1. Passage de la forme canonique à la forme générale

Pour passer de la forme canonique à la forme générale, il suffit de développer l'expression de la fonction.

Exemple:

Sous la forme canonique:

f(x) = 2(x + 4)² + 5

On développe :

f(x) = 2(x + 4)(x + 4) + 5
f(x) = 2(x² + 4 x + 4 x + 16) + 5
f(x) = 2(x² + 8 x + 16) + 5
f(x) = 2x² + 16 x + 32 + 5
f(x) = 2x² + 16 x + 37

La forme générale de la fonction est f(x) = 2x² + 16 x + 37.

2.2. Passage de la forme factorisée à la forme générale

Pour passer de la forme factorisée à la forme générale, il suffit de développer l'expression de la fonction.

Exemple:

Sous la forme factorisé:

f(x) = - 5(x - 1)(x + 2)

On développe :

f(x) = - 5(x² + 2 x - x - 2 )
f(x) = - 5(x² + x - 2 )
f(x) = - 5x² - 5 x + 10

La forme générale de la fonction est f(x) = - 5x² - 5 x + 10

2.3. Passage de la forme générale à la forme canonique

La valeur du paramètre a est la même dans toutes les trois formes.

Il reste juste à trouver les valeurs des paramètres h et k.

Pour celà, on utilise :

• Soit, directement, la formule du sommet:

$$\large\bf\color {brown}{ h = \frac {- b}{2a}} \;\;\;\;\;\;\;\; \large\bf\color {brown}{ k = \frac {4 a c - b^2}{4a}}$$

Ces deux formules s'obtiennent à partir de la forme générale, en utilisant la méthode de factorisation dite de la complétion du carré .

• Soit la methode de la complétion du carré

Exemple:

Sous la forme générale:

f(x) = 3x² - 12x + 16

a = 3, b = - 12, c = 16. D'où:

• On utilise la formule du sommet:

$$\bf\color {indigo}{ h = \frac {- b}{2a} = \frac {+12}{2\times 3} =\frac {+12}{2\times 6} = 2 }$$
$$\bf\color {indigo}{ k = \frac {4 a c - b^2}{4a} = \frac {4\times 3 \times 16 - (- 12)^2}{4\times 3} = \\ \frac {192 - 144}{12} = \frac {48}{12} = 4 }$$

Sous forme canonique, la fonction est f(x) = 3(x - 2)² + 4.

• On utilise la méthode de la complétion du carré:

f(x) = 3 (x² - 4x) + 16
f(x) = 3 (x² - 22x + 2² - 2²) + 16
f(x) = 3 (x² - 22x + 2²) - 3 2² + 16
f(x) = 3 (x - 2)² - 12 + 16
f(x) = 3 (x - 2)² + 4

La forme canonique de la fonction est f(x) = 3 (x - 2)² + 4

a = 3 , h = 2, et k = 4

2.4. Passage de la forme canonique à la forme factorisée

Il faut calculer les zéros de la fonction en remplaçant f(x) par 0 . ou en utilisant la formule quadratique:
$$\bf\color {green}{ x = \frac {- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}}$$ ou $$\large\bf\color {green}{ x = h \pm \sqrt{\frac{- k}{a}}}$$
Exemple:

Sous forme canonique :

f(x) = 3 (x + 7)² - 27
On calcule les zéros en utilisant la formule:

$$\bf\color {indigo}{ x = - 7 \pm \sqrt{\frac{- (- 27)}{3}} = - 7 \pm \sqrt{9} = - 7 \pm 3 \\ \text{} \\ x_1 = - 7 + 3 = - 4 \\ x_2 = - 7 - 3 = - 10 }$$

La forme factorisée de la fonction est f(x) = 3(x + 4)( x + 10).

2.5. Passage de la forme générale à la forme factorisée

Il faut calculer les zéros de la fonction avec la formule quadratique

$$\large\bf\color {green}{ x = \frac {- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}}$$
Exemple:

Sous forme générale:

f(x) = - x² - x + 2

On calcule les zéros en utilisant la formule:
$$\bf\color {brown}{ x = \frac {-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 (-1)(2)}}{2 (-1)} = \\ \frac {1 \pm \sqrt{1+8}}{ - 2} = \frac {1 \pm \sqrt{9}}{ - 2 } = \\ \frac {1 \pm 3}{ - 2} }$$
$$\bf\color {indigo}{ x_1 = \frac {1 + 3}{ - 2} = - 2 \\ x_2 = \frac {1 - 3}{ - 2} = 1 }$$
La forme factorisée de la fonction est f(x) = - (x + 2)(x - 1)

2.6. Passage de la forme factorisée à la forme canonique

On calculer la valeur du paramètre h en utilisant la formule du point milieu: $$\large\bf\color {indigo}{ h = \frac {x_1 + x_2}{ 2} \\ \text{} \\ k = f(h) }$$
où x₁ et x₂ sont les deux zéros.

On calculer k en remplaçant x dans l'équation, par la valeur de h, c'est à dire, on calcule f(h) qui vaut k.

Exemple:

Sous forme factorisée:

f(x) = - (x + 2)(x - 1)

On calcule h avec la formule du point milieu:

h = (- 2 + 1)/2 = - 1/2

On remplace x dans l'équation par la valeur de h. On obtient ainsi la valeur de k:

k = f(-1/2) = - (- 1/2 + 2)(- 1/2 - 1) = - (3/2)(- 3/2) = 9/4

La forme canonique de l'équation est f(x) = - (x + 1/2)² + 9/4