Mathématiques 34: Algèbre
Fonction quadratique
Intersection d'une parabole avec des droites

1 . Points d'intersection
d'une parabole et d'une droite

On dispose de deux méthodes our trouver les pionts d'intersection d'une parabole et d'une droite: la méthode algébrique et la méthode graphique.

1.1. Méthode algébrique

La méthode algébrique est rigoureuse. Elle est basée sur des calculs.

Pour definir les points d'intersection d'une parabole et d'une droite, on égalise leurs définitions respectives.

C'est à dire si :

y_p = ax ² + b x + c

est la définition de la fonction quadratique et

y_d = α x + β

est la définition de la droite affine,

alors leurs points d'intersection obéissent à l'égalité:

y_p = y_d .

Donc

ax ² + b x + c = α x + β

On réduit et on on obtient :

ax ² + b x + c - α x - β = 0
ax ² + (b - α) x + c - β = 0

On obtient donc une équation quadratique des points d'intersection, à résoudre.

ax ² + (b - α) x + c - β = 0

Si ses solutions sont s1 et s2, on calcule leurs ordonnées repectives par l'une ou l'autre des deux expressions égalisées y_p ou y_d. On choisi la plus simple, c'est à dire y_d = α x + β.

Ainsi,

l'ordonnée de s1 est y_s1 = α s1 + β.
Celle de s2 est y_s2 = α s2 + β

Les deux points d'intersection sont donc:

P₁ (s1, y_s1) et P₂ (s2, y_s2)

On note alors ces deux points sur le graphe.

Exemple:

P: y = - 2(x - 1)² + 6 , et
D: y = - 3x + 9

On doit ecrire la fonction quadratique sous sa forme générale. Il suffit de développer:

- 2(x - 1)+ 6 = - 2(x - 2 x + 1) + 6 =
- 2x² + 4 x - 2 + 6 = - 2x² + 4 x + 4

On a donc :

y_p = - 2x + 4 x + 4
y_d = - 3x + 9

On égalise:

- 2x² + 4 x + 4 = - 3x + 9

On réduit et on obtient:

- 2x² + 7 x - 5 = 0

On résout cette équation du second degré:

Δ = (7)² - 4(- 2)(- 5) = 49 - 40 = 9
√Δ = 3

Les racines de cette équation sont donc :

s1 = (- 7 + 3)/2(- 2) = + 1
s1 = (- 7 - 3)/2(- 2) = 5/2 = 2.5

s1 = + 1 et s2 = + 5/2

On calcule leur ordonnées:

l'ordonnée de s1 est y_s1 = - 3(1)+ 9 = + 6.

Celle de s2 est y_s2 = - 3(5/2)+ 9 = (- 15 + 18)/2 = 3/2 = 1.5

Les points d'intersection sont alors:

A (+1,+6) et B(5/2, 3/2)

On retrouve ces points sur le graphique.

1.2. Méthode graphique

• La méthode graphique donne les points d'intersection, mais ce n'est pas très rigoureux , car elle nécessite des précisions sur les lectures.

Pour cela, il suffit de tracer le graphe de la parabole, puis le graphe de la droite et de noter les abscicces et les ordonnées des points intersections, s'ils existent.

Exemple:

P: y = - 2(x - 1)² + 6 , et
D: y = - 3x + 9

On trace les graphes de la fonction quadratique et de la fonction affine:

• La parabole a pour extremum le point (h, k), c'est à dire le point (1, 6).

La parabole a pour a = - 2, donc négative. Elle est donc ouverte vers le bas.

Les zéros de la fonction quadratique se calcule en posant:

- 2(x - 1)² + 6 = 0 >

On trouve

r1 = 1 + √((- 6)/(- 2)) = 1 + √3 = 2.73

r2 = 1 - √((- 6)/(- 2)) = 1 - √3 = - 0.73

On place les points correspondants sur le graphique.

On trace alors la courbe de la fonction quadratique qui est une parabole:

. remontant de - ∞ ,
. passant par x2 = - 0.73 ,
. remontant jusqu'au maximum (1,6),
. descendant en coupant l'axe des x en x1 = 2.73, et puis
. continuant à descendr vers - ∞ .


• Pour tracer la droite affine, il suffit de deux poits. On choisi les points les plus simples:

y = - 3x + 9

x = 0 → y = 9 (ordonné à l'origine)

y = 0 → - 3x + 9 = 0 → x = 3 (abscisse à l'origine) .

On trace la droite passant par ces deux points.

À partir du graphe, on note les points d'intersection de la prabole et de la droite affine.

2 . Parabole et une droite :
Deux points d'intersection

Si y_p = ax ² + b x + c

est la définition de la fonction quadratique et

y_d1 = α x + β

est la définition de la première droite affine, et

y_d2 = α x + β

est la définition de la deuxième droite affine .

On procède de la même manière que pour l'intersection d'une parabole avec une droite. Mais ici , on doit le faire deux fois: La parabole avec la première droite affine, puis la parabole avec la deuxième droite affine.

Ce type de problè n'a d'intérêt que si la parabole et les deux droites ont toutes les trois un point commun. Dans ce cas:

Si on sait qu'il ya un point commun à la parabole et aux deux droites, on determine le point d'intersection de la parabole avec une droite affine, puis, c'est plus simple, le point des deux droites affines. Par transitivité, ce point d'intersection est aussi celui de la parabole avec l'autre droite.

Exemple:

P: y = - 2(x - 1)² + 6 ,
D1: y = 2x + 4 , et
D2: y = - 3x + 9

3. Cas particuliers

1. Un seul point d'intersection:

Si l'équation des points d'intersection:

ax ² + (b - α) x + c - β = 0

admet un discriminant nul, alors il un seul point d'intersection entre la parabole et la droite sffine.

Exemples :

Exemple 1 :

P: y = - 2(x - 1)² + 6 ,
D: y = 6



Le seul point commun est P(1,6). La droite est parallèle à l'axe des x.

Exemple 2:

P: y = - 2(x - 1)² + 6 ,
D: y = - 4x + 12




La seul point commun est P(2,4) . La droite est tangente à la parabole, au point P .

2. Aucun point d'intersection:

Si l'équation des points d'intersection:

ax ² + (b - α) x + c - β = 0

admet un discriminant négatif, alors il n'existe aucun point d'intersection entre la parabole et la droite sffine.

Exemples :

Exemple 1:

P: y = - 2(x - 1)² + 6
D: y = 9



Exemple 2:

P: y = - 2(x - 1)² + 6
D: y = - 4x + 16

4 . Application: Déterminer l'aire du
triangle engendré sous la parabole

Nous savons que:

A(1,6), B(5/2, 3/2) et C(0.4) . D'où:

Calculons les trois distances entre les trois points A, B et C:

• D(A,B) = √[(5/2 - 1)² + (3/2 - 6)²] =
√[(3/2)² + (- 9/2)²] =
√(9/4 + 81/4) = √(45/2) = 3 √(5/2) =
4.74 unités.

• D(B, C) = √[(0 - 5/2)² + (4 - 3/2)²] =
√[(- 5/2)² + (5/2)²] =
√(25/4 + 25/4) = √ (25/2) = (5/2) √2 =
3.53 unités.

• D(C, A) = √[(0 - 1)² + (4 - 6)²] =
√( 1 + 4) = √5 =
2.24 unités.

• Demi-périmètre = [3 √(5/2) + (5/2) √2 + √5]/2 = 5.26

La formule de Héron donne l'aire du triangle ABC:

• Aire = √[5.26 (5.26 - 4.74) (5.26- 3.53) (5.26 - 2.24)]
3.80 unités carrées.

L'aire du triangle ABC est égale à 3.80 unités carrées.