Mathématiques: Fonction quadratique

Poignée de main

Dans une grande réception, les gens se donnent des poignées de main.

Une personne ne peut donner une poignée de main à elle-même, ni la doubler bien sûr.

On veut savoir combien de poignées de main pourront être échangées si la réceptiom compte n personnes.

Prenons l'exemple de 5 personnes (n = 5). On a alors le tableau suivant:

	1	2	3	4	5
1	*	*	*	*	*
2	(1,2)	*	*	*	*
3	(1, 3)	(2, 3)	*	*	*
4	(1, 4)	(2, 4)	(3, 4)	*	*
5	(1,5)	(2, 5 )	(3,5)	(4, 5)	*

On remarque que la colonne de 5 ne compte plus. Il restera donc 4 colonnes.

On remarque que le nombre de poignées de main pour 5 personnes est alors :

P(5) = (5 - 1) x 5 /2 = 10

On généralise donc pour N personnes, et l'on aura:

P(n) = (n - 1) x n/2


Si Le nombre de poignées de main dépassent 10 000 , on peut ecrire:

P(n) = (n - 1) x n/2 ≥ 10 000

Donc

n(n - 1) ≥ 20 000 ou n² - n - 20 000 ≥ 0

On résoud donc l'inéquation:

n² - n - 20 000 ≥ 0

L'équation associée est:

n² - n - 20 000 = 0

Δ = (- 1)² - 4 (1)(- 20 000) = 1 + 80 000

√ Δ = 283

Les racines de l'équation sont:

r1 = (1 + 283)/2 = 142 et r1 = (1 - 283)/2 = - 141

Le tableau de signe correspondant est :

L'ensemble des solutions ] - ∞, - 141] est négatif. Il ne corresponds pas au contexte. Il est donc éliminé.

L'ensemble des solutions est donc:

S = [142, +∞ [

La réponse est : n ≥ 142 personnes .

Plus de 10 000 poingnées de main nécessitent au moins 142 personnes .


Remarque:

On peut utiliser la propriété du signe du trinôme du second degré, c'est plus rapide que le tableau de signe:

Un trinôme du second degré ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a à l'intérieur des racines.

Dans cet exemple, le trinôme n² - n - 20 000 est du signe de a (qui vaut + 1), donc positif, sur ] - ∞, - 141] ∪ [142, + ∞[ . Le premier intervalle n'est pas considéré dans le contexte du problème.

      Logiciel de tableau de signe