Mathématiques 2: Fonction quadratique &
distance dans le plan cartésien

Exercice 1

On inscrit un triangle équilatéral OAB dans un carré de côté égal à 1.

a) Calcul de la valeur du côté du triangle:

Le triangle OAB est équilatéral donc les trois segments [OA], [OB], et [AB] sont isométriques.

Les distances d(O,A) = d(O,B) sont égales et ne dépendent que de 1 et de z, donc z est le même.

Le poit O a pour coordonnées (0,0),
Le point A a pour coordonnées (z,1), et
Le point B a pour coordonnées (1,z),

Nous avons

d(O,A) = √(z² + 1²)
d(O,B) = √(1² + z²)
d(A,B) = √((1 - z)² + (z - 1)²) = √(2(1 - z)²)

La condition d(O,A) = d(O,B) = d(A,B) implique:

√(z² + 1²) = √(2(1 - z)²)

En élevant au carré les deux membres de cette égalité, on obtient:

z² + 1² = 2(1 - z)²

On développe le deuxième membre de l'égalité:

z² + 1² = 2(1 - 2 z + z²) = 2 - 4 z + 2z²

On réduit, et on obtient:

z² - 4 z + 1 = 0

Δ = (- 4)² - 4 (1)(1) = 12 . Donc √Δ = 2√3

z₁ = (4 + √12)/2 = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3 = 3.732
z₂ = (4 - √12)/2 = (4 - 2√3)/2 = 2 - √3 = 0.268

Les valeurs des carrés des côtés sont :

1 + z₁² = 4(2 + √3) = 14.928
1 + z₂² = 4(2 - √3) = 1.072

Les valeurs des côtés sont donc:

√(1 + z₁²) = 2 √((2 + √3)) = 3.864
√(1 + z₂²) = 2 √((2 - √3))) = 1.035

La valeur 3.86 du côté qui correspond à la racine la plus grande z₁ est plus grande que 1. Elle ne correspond pas au contexte. On retient la deuxième racine:

d(O,A) = d(O,B) = d(A,B) = √(1 + z₂²) =
√(4(2 - √3)) = 2 √(2 - √3) = 1.035

d(O,A) = d(O,B) = d(A,B) = 2 √(2 - √3) = 1.035 unités


b) Calcul de l'aire du triangle:

Dans un triangle équilatéral, une hauteur est en même temps médiane.

L'aire d'un triangle est égale à base x hauteur/2


Dans le triangle équilatéral OAB, de côté c = 2 √(2 - √3), nous avons:

hauteur = √(c² - (c/2)²) = √(3c²/4) = (c/2)√3

L'aire A = c x (c/2)√3 /2 =
√3 c²/4 = (2 √(2 - √3))² √3 /4 =
4(2 - √3) √3 /4 = (2 - √3) √3 = 2√3 - 3

Aire du triangle OAB = 2√3 - 3 = 0.464 unités²

Exercice 2

Utiliser le logiciel pour vérifier :

Entrer les valeurs:

10,15,20,27,29,30,38,42,47,51,58,61
13.2,11.5,11.2,10.9,10.5,11.5,11.2,12.5,12.7,13.1,14.6,15.8

Régression quadratique ScientificSentence


On peut aussi utilser une calculette pour faire la régression quadratique.

Pour l'exemple de la calculette casio :

Régression quadratique casio

Exercice 3

a) Voir grahique

b) Les zéros de la fonction sont :
t = 0 et t = 10.

t = 0 représente le moment où Alan Shepard a frappé la balle,
t = 10 représente le moment où la balle a touché le sol.

c) x : le déplacement horizontal de la balle (en m),
y : la hauteur de la balle (en m)

x = 12 t d'où t = x/12

On substitue cette valeur de t dans l'équation
y = - 0.8 t² + 8 t , on obtient:

y = - 0.8 (x/12)² + 8 (x/12) =
- 0.8 (x² /144) + (8/12) x =
- (1/180) x² + (2/3) x

y = - (1/180) x² + (2/3) x

d) voir graphique

e) f(x) = 0
- (1/180) x² + (2/3) x = 0
x (- (1/180) x + (2/3) ) = 0

d'où

x = 0
x = (2/3)/(1/180) = 180 (2/3) = 120

x = 0 est le lieu où l'astronaute a lancé la balle
x = 120 m, le lieu où la balle a touché le sol lunaire.

Exercice 4

Soient trois points B(0,0), C(0,200), et A(60,120).

Quel est la position d'un nouveau point M(x,y) équidisatnt des trois point ?

La position de B est prise pour origine du plan cartésien:.

La distance entre le pont B et le point C est de 200 m.

Le nouveau point M(x,y) sera situé à égale distance du point B et du point C, il va se trouver sur la droite d’équation x = 100. Il aura donc pur coordonnées (100, y).

De plus, ce nouveau point sera situé à égale distance du point B d'une part et du point C d'autre part.

Ainsi, on aura:

d(A,M) = √((60 - 100)² + (120 - y)²) =
√(40² + (120 - y)²)

d(B,M) = √((0 - 100)² + (0 - y)²) =
√(100² + y²)

d(A,M) = d(B,M) implique:

√(40² + (120 - y)²) = √(100² + y²)

En élevant au carré les membres de cette équation, on trouve:

40² + 120² - 240 y + y² = 100² + y²
40² + 120² - 100² = 240 y
240 y = 1600 + 14400 - 10000 = 6000
240 y = 6000/240 = 25

y = 25

Le nouveau point aura pour coordonnées (100, 25).

Exercice 5

Soit A(3,5) et B(6,x).
Quelle est la valeur de x pour que d(A,B) = 5

On doit résoudre l'équation:

(3 -6)² + (5 - x)² = 25

Réduite, cette équation devient:

x² - 10 x + 9 = 0

Δ = (- 10)² - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64

√Δ = 8

x1 = (10 + 8)/2 = 9
x2 = (10 - 8)/2 = 1

On trouve deux solutions : x = 1 ou x = 9 unités.

Exercice 6

Soit deux points R(0,3) et S(10,5).

Quelle est la valeur minimale de la somme y + z ?

Application: a = 3 m, b = 5 m, et c = 10 m .

La formule de la distance permet d'ecrire:
y = √(a² + x²)
z = √(b² + (c - x)²)

a) 1er cas: d(R,M) = d(S,M), c'est à dire y = z

√(a² + x²) = √(b² + (c - x)²)

En élevant au carré, on obtient:

a² + x² = b² + (c - x)²

a² + x² = b² + c² + x² - 2 c x

a² = b² + c² - 2 c x

x = (b² + c² - a²)/2c

x = (5² + 10² - 3²)/2x10 = 116/20 = 5.8 m

x = 5.8 m

b) y = z , donc L = y + z = 2y

y = √(3² + 5.8²) = 6.53 m

L = y + z = 2 y = 13.06 m

L = y + z = 13.06 m

c) 2eme cas: d(S,M) = 2 d(R,M), c'est à dire z = 2y

2 √(a² + x²) = √(b² + (c - x)²)

En élevant au carré, on obtient:

4 a² + 4 x² = b² + c² + x² - 2 c x
3 x² + 2 c x + 4 a² - b² - c² = 0

3 x² + 2 c x + 4 a² - b² - c² = 0

Δ' = c² - 3(4 a² - b² - c²) =
c² - 12 a² +3 b² + 3 c² =
4 c² + 3 b² - 12 a²

Deux racines réelles:

x1 = (- c + √Δ)/3
x2 = (- c - √Δ)/3
Avec
Δ' = 4 c² + 3 b² - 12 a²

Δ' = 4 x 100 + 3 x 25 - 12x 9 = 367
x1 = (- 10 + 19.16)/3 = 3.05 m
x2 = (- 10 - 19.16)/3 = - 9.72 m (à gauche de l'origine).

d) On trouve deux valeurs pour y, pour z, et pour la somme des distances:

y1 = √(a² + x1²)
z1 = √(b² + (10 - x1)²)
d1 = y1 + z1 = y1 + 2 y1 = 3 y1

y1 = √(3² + 3.05²) = 4.28 m
z1 = √(5² + (10 - 3.05)²) = 8.56 m

d1 = y1 + z1 = 4.28 + 8.56 = 12.84 m

d1 = y1 + z1 = 12.84 m

y2 = √(a² + x2²)
z2 = √(b² + (10 - x2)²)

d2 = y2 + z2 = = 3 y2

y2 = √(3² + 9.72²) = 10.17 m
z2 = √(5² + (10 + 9.72)²) 20.32 m

d2 = y2 + z2 = 10.17 + 20.32 = 30.49 m

d2 = y2 + z2 = 30.49 m

e) Cas général: Somme des distances minimale:



• première valeur de la distance L = y + z :
x = 0, donc L = 3 + √(10² + 5²) = 14.18 m .

• dernière valeur de la distance L = y + z :
x = 10, donc L = 5 + √(10² + 3²) = 15.44 m.

• Entre ces deux valeurs, nous avons un minimum x = 3.75 m qui correspond à L = y + z =
√(3.75² + 3²) + √((10 - 3.75)² + 5²) = 12.81 m .

La distance minimale d(A,M) + d(M,B) est égale à 12.81 m .

On peut trouver ce résultat algébriquement par un calcul de dérivée:

L = y + z = √(a² + x²) + √((c - x)² + b²)

dL/dx = (1/2) (2 x)/√(a² + x²) + (1/2) (- 2 (c - x))/√((c - x)² + b²)
= x /√(a² + x²) -(c - x))/√((c - x)² + b²)

dL/dx = 0 =
x √((c - x)² + b²) - (c - x) √(a² + x²)
x √((c - x)² + b²) = (c - x) √(a² + x²)

En élevant au carré, on obtient:

x² ((c - x)² + b²) = (c - x)² (a² + x²)
(c - x)² x² + b² x² = a²(c - x)² + x²(c - x)²
b² x² = a²(c - x)²
b² x² = a²(c² - 2 c x + x²)
b² x² = c²a² - 2 ca² x + x²a²

(b² - a²) x² + 2 c a² x - c²a² = 0

On résout l'équation et on trouve :

x = [- c a² ± √(c² a⁴ + (b² - a²)c²a²)]/ (b² - a²)

Application a = 3, b = 5 et c = 10

16 x² + 180 x - 900 = 0
4 x² + 45 x - 225 = 0

Δ = 5625 , √Δ = 75

x1 = (- 45 + 75) /8 = 3.75
x2 = (- 45 - 75) /8 = - 15

x1 = 3.75 m
x2 = - 15 m (15 m à gauche de l'origine). Cette solution ne correspond pas au contexte considéré. On retient x = 3.75 m.

Exercice 7 : Pont de Sydney

a) Les coordonnées du sommet de l'arche sont S(250,50)

Les coordonnées de l'extrémité gauche de l'arche sont G(0,- 50)

Les coordonnées de l'extrémité droite de l'arche sont G(500,- 50)

b) L'équation de la parabole (arche) est :

y = a (x - 250)² + 50

y(0) = - 50 = a (0 - 250)² + 50 = a 250² + 50
- 50 = a 250² + 50

D'où:

a = - 100/250² = - 1/625

y = - (1/625) (x - 250)² + 50

c) Les points de rencontre de l'arche et le tablier sont les zéros de la fonction quadratique f(x) = - (1/625) (x - 250)² + 50.

- (1/625) (x - 250)² + 50 = 0
(x - 250)² - 50 /(1/625) = 0
(x - 250)² - 50 x 625 = 0
(x - 250)² - 2 25² 5² = 0

Factorisée, l'équation devient:

(x - 250 - 125√2)(x - 250 + √2) = 0

d'où les solutions:

x = 250 + 125√2 = 426.77 m
x = 250 - 125√2 = 73.22 m

La distance entre ces deux points est
426.77 - 73.22 = 353.55 m

d) d(R1,A) = √((73.22 - 0)² + (0 - 50)²) =
√(73.22² + (- 50)²) = 88.7 m

d(R2,B) = √((426.77 - 500)² + (0 - 50)²) =
√(73.23² - (- 50)²) = 88.7 m

e) S(250,50)
P(500, 90 - 50) = (500,40)

d(S,P) = √((500 - 250)² + (50 - 40)²) =
√(250² + 10²) = 250.2 m

Exercice 8 : Deux tapis roulants adjacents