Mathématiques 45: Géométrie
Théorème de Pythagore

1. Les riplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien (a, b, c) est une suite de trois nombres, entiers naturels non nuls, qui vérifient la relation de Pythagore :

Dans un triplet pythagoricien (x, y, z) x et z sont les cathètes et z est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Exemple

(27, 36, 45) est un triplet pythagoricien.

On remarque qu'un diviseur premier commun à deux de ces nombres divise le troisième.

Un triplet pythagoricien (x, y, z) est primitif si les trois entiers naturels x, y et z sont premiers entre eux, ou simplement deux des trois sont premiers entre eux.

Exemple

Le triplet pythagoricien primitif (3, 4, 5) forme un triangle rectangle qu'on appelle le triangle égyptien ou triangle 3-4-5.


Si a² + b² = c², alors
n(a² + b²) = n(c²) .
(√n a)² + (√n b)² = (√n c)².

On obtient donc tous les triplets pythagoriciens par multiplication des trois nombres par un même entier naturel non nul.

2. Les riplets pythagoriciens

Voici un logiciel qui affiche une liste des triplets primitifs ou non de nombres inférieurs à 100: (ça nécessite 1 million d'opérations dans une triple boucle pour calculer ces pythagoriciens de 1 à 100).