Conversions    
 
  Probabilités    
 
  Statistiques    
 
  Conics    
 
  révisions 1    
 
  Units   
 
  home  
 
  ask us  
 

 
Maths
- 45 -

Racine carrée



Exercices



Calculateurs




© The scientific sentence. 2013


Mathématiques 45: Algèbre
Racine carrée
Equations et inéquations
Exercices résolus




1. Equations


Exercice 1


- 2 √(- 3 x + 7) + 9 = 2

- 2 √(- 3 x + 7) = - 7

√(- 3 x + 7) = 7/2

- 3 x + 7 = (7/2)2
v x = (7 - (7/2)2)/3 =
7 (1 - (7/22))/3 = - 1.75

x = - 1.75



Exercice 2


√(4x2 + x - 1) = 3 x + 5

4x2 + x - 1 = (3 x + 5)2 = 9 x2 + 30 x + 25

5 x2 + 29 x + 26 = 0

Δ (29)2 - 4 (5) (26) = 321

Les deux racines sont:

x1 = (- 29 - 17.92) (2 x 5)
x2 = (- 29 + 17.92) (2 x 5)

x1 = - 1.11
x2 = - 4.69



Exercice 3


|- 5 x + 3| - 5 = √ ( 4 x - 5)

- 5 x + 3 - 5 = √ ( 4 x - 5)
pour - 5 x + 3 ≥ 0 x ≤ 3/5

5 x - 3 - 5 = √ ( 4 x - 5)
pour - 5 x + 3 ≤ 0 x > 3/5

On regroupe

- 5 x - 2 = √ ( 4 x - 5) pour x ≤ 3/5
5 x - 8 = √ ( 4 x - 5) pour x > 3/5

a) pour x ≤ 3/5:
- 5 x - 2 = √ ( 4 x - 5)
(- 5 x - 2 )2 = 4 x - 5
25 x2 + 20 x + 4 = 4 x - 5
25 x2 + 16 x + 9 = 0

b) pour x > 3/5:
(5 x - 8)2 = 4 x - 5
25 x2 - 80 x + 64 = 4 x - 5
25 x2 - 84 x + 69 = 0

On regroupe:

25 x2 + 16 x + 9 = 0 pour x ≤ 3/5 (1)
25 x2 - 84 x + 69 = 0 x > 3/5 (2)


Pour (1)
Δ = (16) 2 - 4(25)(9) < 0 donc
pas de racines réelles .

Pour (2)
Δ = (- 84) 2 - 4(25)(69)
= 7056 - 6900 = 156

Il y a donc deux racines:

x1 = (84 - 12.49)/50 = + 1.43
x2 = (84 + 12.49)/50 = + 1.93

Les deux solutions sont:
x1 = + 1.43, et x2 = + 1.93
puisqu'elles sont bien > 3/5 = 0.6.



2. Inéquations


Exercice 1


√(x2 + 3) ≥ x2 + 1

Il n' y a aucune contrainte puisque les binômes
(x2 + 3) et (x2 + 1) sont toujours positifs.

Ainsi

x2 + 3 ≥ (x2 + 1)2

x2 + 3 ≥ x4 + 2 x2 + 1

Donc

x4 + x2 - 2 ≤ 0 (1)

On pose y = x2

L'equation (1) devient:

y2 + y - 2 ≤ 0 (2)

Δ = (1)2 - 4 (1)(- 2) = 9

y1 = (-1 + 3)/2 = 1
y2 = (-1 - 3)/2 = - 2


Le trinome (2) est du signe de a = 1 , donc positif
à l'extérieur des rcines, c'est à dire dans ]- ∞, - 2[ ∪ ]+ 1, + ∞[ . Il est donc négatif dans [- 2, + 1].

Seul y1 = + 1 convient.

Donc

x2 = + 1
x2 = - 1

Solutions qui sont bien dans dans [- 2, + 1]

Ensemble des solutions S = [- 2, + 1]



Exercice 2


√(2x - 5) < √(x2 - 8)

Les contraintes:

2x - 5 ≥ 0 → x ≥ + 5/2
x2 - 8 ≥ 0 → x∊ ]- ∞ , - 2√2] ∪ [+ 2√2, + ∞[.

Ainsi

2x - 5 < x2 - 8
0 < x2 - 2x - 3

x2 - 2x - 3

Les racines sont:
x1 = - 1
x2 = + 3

Le trinome est du signe de a = 1 , donc positif
à l'extérieur des rcines, c'est à dire dans ]- ∞, - 1[ ∪ ]+ 3, + ∞[.

Avec les contraintes:
x ≥ + 5/2, et
x∊ ]- ∞ , - 2√2] ∪ [+ 2√2, + ∞[.

5/2 = 2.5
2√2 = 2.8

on aura:

S = ]- ∞ , - 2√2] ∪ ]+ 3, + ∞[.



Exercice 3


√x + 1 ≥ √(16x) - 2

Une seule contrainte:
x ≥ 0

√x + 1 ≥ √(16x) - 2
√x + 1 ≥ 4 √x - 2
0 ≥ 3 √x - 3
√x ≤ 1
x ≤ 1

Avec la contrainte x ≥ 0 , on a

S = [0, + 1[ .



3. Etude d'une fonction racine carré

Bien se rappeler que si

alors





f(x) = - 5 √(4x - 7) - 6

(4x - 7) doit être ≥ 0;
c'est à dire x ≥ 7/4.

Dans ce cas a < o et b > 0 .

Étant donné qu'on connait le domaine, il suffit de réprésenter le point (h, k) et de vérifier avec une valeur de x.

Par exemple:

Nous avons h = 7 et k = - 6

Je représente le point (7, - 6) sur le graphe.

Comme x ≥ 7/4, je verifie avec 10 , ce qui donne
- 5 √(4 x 10 - 7) - 6 = - 5 √33 - 6 ≈ - 35

Donc la courbe descends vers la droite.



4. Fonction réciproque d'une fonction racine carré

f(x) = 3√(2x - 6) + 1

Domaine de f(x) = [+ 3, + ∞[

la contrainte est
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3

Nous avons:

y = 3√(2x - 6) + 1
y - 1 = 3√(2x - 6)
(y - 1)/3 = √(2x - 6)
(y - 1)2/9 = 2x - 6
y2 - 2 y + 1 = 18 x - 54
y2 - 2 y - (18 x - 55) = 0

Δ = (-2)2 + 4 (1)(18 x - 55) =
4 + 4 (1)(18 x - 55) = 4(1 + 18 x - 55) =
4(18 x - 54) = 2 x 36 (x - 3)

Pour avoir des racines, il faut que :
4(18 x - 54) ≥ 0 → x ≥ 54/18 = 3

Donc

Pour x ≥ 3 , nous avons

y1 = (2 + √Δ)/2
y2 = (2 - √Δ)/2
y1 = (2 + 6 √(2(x - 3)))/2 = 1 + 3 √(2(x - 3))
y2 = (2 - 6 √(2(x - 3)))/2 = 1 - 3 √(2(x - 3))

Ainsi, avec la contrainte: x ≥ 3:

y1 = 1 + 3 √(2(x - 3))
y2 = 1 - 3 √(2(x - 3))
dans [+3, + ∞[


Explicitement, on ecrit:

y = |3 √(2(x - 3))| + 1
dans [+3, + ∞[

Ainsi la fonction réciproque de f(x) est g(x) telle que: g(x) = |3 √(2(x - 3))| + 1 dans [+3, + ∞[








  


chimie labs
|
Physics and Measurements
|
Probability & Statistics
|
Combinatorics - Probability
|
Chimie
|
Optics
|
contact
|


© Scientificsentence 2013. All rights reserved.