Mathématiques 2: Statistiques:
Statistiques à deux variables
Régression linéaire et correlation linéaire
Mesure du coefficient de corrélation

1. Mesure graphique du coefficient de corrélation

• Dans un plan cartésien, on représente le nuage de points de la série statistique,
• On trace la droite de corrélation le long et au milieu du nuage de points,
• Sans tenir compte des données éloignées dites aberrantes, on rassemble les données du nuage de points dans un rectangle,
• On mesure la longeur L et la largeur l du rectangle;
• On place ses valeurs dans la formule suivante:

$$\color{blue}{\Large\bf r = \pm (1 - l/L)}$$
+ si la pente est positive et – si la pente est négative.

2. Exemple

Dans ce shéma, i carreau = 1 cm x 1cm.

l = √(2² + 3²) = 3.6 cm
L = √(7² + 8²) = 10.6 cm

La pente est positive. Donc, la corrélation est positive.

r = + (1 - 3.6/10.6) = + 0.66

La corrélation est moyenne et positive.

2. Théorie du coefficient de corrélation

2.1. Coefficient de corrélation
par la covariance

Le coefficient de corrélation r entre les variables statistiques x ey y est défini par l'expression:

$$\color{brown}{\LARGE\bf r = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{V(x).V(y)}}}$$
où cov(x,y) désigne la covariance de x et y,
E (X) désigne l'espérance mathématique de la variable aléatoire X, et V(x) et V(y) désignent la variance des variables x et y respesctivement.

La covariance évalue la variation de deux séries et renseigne sur la dépendance entre ces variables.

Si deux variables aléatoires sont indépendantes alors leur covariance est nulle, mais la réciproque n'est pas vraie.

$$\color{blue}{\Large\bf cov(x,y) = E[(x - E[x])(y - E[y])]}$$
L'espérance mathématique est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique. Elle évalue le résultat moyen d'une expérience aléatoire.

$$\color{green}{\Large\bf E(X) = \sum_{i=1}^n p_i x_i}$$
xi sont les valeurs de la variable aléatoire discrète , et pi les probabilités correspondantes,

2.2. Coefficient de corrélation
par la somme des carrés

Le coéfficient de corrélation r mesures combien une équation de régression représente bien les données statistiques.

La somme des carrés des écarts dûs à la régression est la somme des carrées de la différence entre les observations est la fonction de régression.

C'est aussi la somme des carrés de chacune des distances entre les points du nuage et la courbe de régression. Cette somme s’appelle somme des carrés résiduels (SCR), ou square sum errors (SSE).

La somme totale des carrés des écarts est la somme des carrés de la différence entre les observations et la moyenne. On note cette somme SCT (ou SST).

On défini le coefficient de corrélation en fonction du rapport de la SSE et de la SST.
$$\bf\color{brown}{ sse = \sum_{i=1}^n {(y_i - f(x_i))^2}} \\ \text { }\\ \bf\color{brown}{ sst = \sum_{i=1}^n {(y_i - \bar{y})^2}} \\ \text { }\\ \bf\large\color{green}{ r = \sqrt{1 - \frac{sse}{sst}}}\\ $$
f(x_i) est la fonction de régression.