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Mathématiques: Statistiques
Tests non paramétriques
Test U de Mann–Whitney
1. Définitions
Une variable indépendante est une variable qui
n'a pas de relation avec une autre variable. Sa réalisation
ou sa mesure n'affecte pas ou n'est pas affectée
par celle de l'autre. Lancer un dé cubique une deuxième
fois n'as aucune relation avec le premier lancer. L'un
se réalise comme si l'autre n'existe pas.
Une variable nominale, est une variable de type
qualitatif. Les statistques faites sur les sujets
considèrent la qualité comme la couleur, le genre, le style,
...
Une variable ordinale est une variable qui permet un
ordre de classement: 1er, 2e, 3e, 4e, etc. Ce classement permet de trier les données qui sont des scores. Les
rangs représentent des variables ordinales.
La variable des données ou des scores à trier est dite
dichotomiques si la valeur de cette variable est
franche et ne peut prendre que deux valeurs comme le oui/non, chaud/froid, vrai/faux, ... . C'est une variable à à deux modalités.
Elle est dite non-dichotomiques si les scores sont
réparties en un éventail de valeurs, comme par exemple:
excellet, tès bie, bien, passable, médiocre lorsqu'on
veut mesurer une performance.
le score, c'est le nombre de points obtenus à
une expérience.
2. Le test de Mann-Whitney
le test de Mann-Whitney est l'alternative
non paramétrique de t de Student pour deux
échantillons indépendants.
Lorsque la distribution des valeurs ne
suit pas une loi normale, donc dissymétrique, le test
t de student ne s'applique pas; il faut utiliser
plutôt le test de Mann-Whitney.
Le test de Wilcoxon est utilisé dans le cas de la
comparaison de deux échantillons appariés, comme
comparer deux situations avant/après d'un même échatillon.
Dans le cas de la comparaison de deux échantillons indépendants, le test de Wilcoxon est équivalent au test de Mann-Whitney.
Le test U de Mann-Whitney peut être utilisé pour tester si
deux groupes indépendants ont été tirés de la même population.
Ce test est surtout utilisé pour étudier si une variable indépendante nominale dichotomique influence une
variable dépendante ordinale de scores.
C'est la variable indépendante nominale dichotomique
qui scinde les données en deux échantillons ou deux
groupes.
3. Le principe du test
Pour deux séries statistiques de données de
chacun des deux groupes, on
procède de la façon suivante:
1. On range les scores
- Mélanger les scores de deux groupes A et B,
- Ordonner la série obtenue en ordre croissant,
- Accorder des rangs; pour les ex-æquo attribuer à chacun le rang moyen ,
- Reconstruire les deux groupes de données avec leurs rangs correspondants
2. On calculer la somme des rangs Sa de A et
la somme des rangs Sb de B.
3. On calcule les deux paramètres de Mann et Whitney
fonction des sommes Sa et Sb et des nombres de
scores Na et Nb respectivement des groupes A et B. On
prend ensuite le minimum de ces deux paramètres:
Ua = Na x Nb + Sa x Na(Na + 1)/2
Ub = Na x Nb + Sb x Nb(Nb + 1)/2
U = min(Ua,Ub)
3.1. Na et Nb sont inférieurs à 8:
Dans le cas les distributions de Ua et Ub ne sont pas normales.
On se réfère aux tables de valeurs critiques
U de Mann-Whitney.
Cette table est consultée en fonction de l'effectif
le plus petit N1.On lit la valeur de la probabilité
correspondant à la somme S2 la plus grande des Sa et
Sb.
Ainsi on accèpte l'hypothèse nulle selon le seuil
de risque α choisi égal à 5%.
Si la valeur Uo calculée est plus petite que la valeur
Uc critique, l'hypothèse nulle (H0) est rejetée, et
l'hypothèse alternative (H1) est accéptée au risque
de 5%.
3.2. Na et Nb sont supérieurs à 8:
Dans le cas
les variables Ua et Ub se bistribuent approximativement
selon la loi gaussienne (normale).
Donc pour cette distribution de U:
. La moyenne est
μ = Na x Nb/2, et
. L'écart-type est
σ = √(Na x Nb x (Na + Nb + 1)/12)
On teste donc l'écart entre U et μ
Z = |U - μ|/σ
On vérifie donc la signification de la valeur Z:
- À P = 0.05, si Z calculé est supérieur ou
égal à 1,96; la différence entre les moyennes des
rangs est significative.
- À P = 0.01, si Z calculé est supérieur ou
égal à 2,56; la différence entre les moyennes des
rangs est significative.
Table des valeurs critiques de Mann Whitney:
Seuil de signification α = 0,05 pour un test bilatéral =
Seuil de signification α = 0,025 pour un test unilatéral
N1 est la plus petite taille et N2 la plus grande
taille des deux échantillons indépendants scindés
par une dichotomie.
n2→ n1↓ |
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0 |
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1 |
1 |
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2 |
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0 |
1 |
1 |
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3 |
3 |
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5 |
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6 |
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11 |
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13 |
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9 |
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10 |
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23 |
26 |
29 |
33 |
36 |
39 |
42 |
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55 |
11 |
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33 |
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44 |
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51 |
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12 |
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61 |
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69 |
13 |
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45 |
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54 |
59 |
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67 |
72 |
76 |
14 |
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55 |
59 |
64 |
67 |
74 |
78 |
83 |
15 |
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64 |
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75 |
80 |
85 |
90 |
16 |
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75 |
81 |
86 |
92 |
98 |
17 |
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87 |
93 |
99 |
105 |
18 |
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99 |
106 |
112 |
19 |
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113 |
119 |
20 |
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127 |
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