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Statistiques







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Mathématiques 2: Statistiques :
Variance et écart-type



La variance et l'écart-type sont les mesures de dispersion les plus couramment utilisées.

La variance exprime la dispersion autour de la moyenne.

1. Variance


1.1. Définition

La mesure de l'étendue nous renseigne sur la dispersion globale de la série statistique; c'est à dire la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite.

La variance d'une variable caractère mets en jeu tous les caratères à l'intérieur de l'ensemble de données afin d'obtenir une mesure plus précise de la dispersion.

La variance est symbolisée par S2.

La variance est la mesure du degré de dispersion d'un ensemble de données. Elle est égale à la moyenne des carrés des écarts entre chaque caractère et la moyenne de la série statistique.

Pour une série statistique avec n caractères x (observations), de moyenne m, on a:

S2 = Σ(x - m)2/n

Pour une série statistique avec effectifs différents de n caractères x (observations), et de moyenne m, il faut pondérer la moyenne et la variance. et l'on a:

S2 = Σ((x - m)2f)/n



1.2 Exemples

1.2.1. Exemple 1 : Effectif unitaire

On note les températures des 7 jours de la semaine (Lu, Ma, Mr, Je, Ve, Sa, Di). Le tableau suivant représente les valeurs "températures du jour".

jour Lu Ma Me Je VeSaDi
sa température en °C
x
+ 6 0 + 7 + 23 + 9 - 10
écarts
x - m
0.28 - 6.28 + 1.28 16.72 2.72 - 7.28- 6.28
carré des écarts
(x - m)2
0.08 39.44 1.64 279.56 7.40 52.99 39.44

La moyenne des températures est égale à
M = ((+6) + (0) + (+7) + (+23) + (+9) + (-1) + (0))/7 = 44/7 = 6.28

La variance S2 = (0.0784 + 39.4384 + 1.6384 + 279.5584 + 7.3984 + 52.9984 + 39.4384)/7 = 420.55/7 = 60.078.



1.2.2. Exemple 2: Effectifs différents



Un boîte contient 80 oranges. On veut peser ces oranges et calculer leur masse moyenne. Voici les résultats obtenus sous forme d'une série statistique:

masse d'une orage (g) 190 195 198 200 203 205 210 212
son effectif 7 815 20 12 9 6 3
écarts - 10.46 - 5.46 - 2.46 - 0.46 2.54 4.54 9.54 11.54
carré des écarts 109.41 29.84 6.06 0.21 6.44 20.59 290.97 133.11
carré des écarts pondérés 765.88 238.71 90.96 4.28 77.27 185.30 1745.78 399.34


La moyenne pondérée est égale à:

m = (( 190 x 7) + (195 x 8) + ( 198 x 15) + (200 x 20) + (203 x 12) + (205 x 9) + (210 x 6) + (212 x 3) )/80 =
(1330 + 1560 + 2970 + 4000 + 2436 + 1845 + 1260 + 636 )/80 = 16037/80 = 200.4625

La moyenne pondérée est égale à 200.4625 g.

La variance pondérée est égale à S2 = 109.4116 x 7 + 29.8389 x 8 + 6.0639 x 15 + 0.2139 x 20 + 6.4389 x 12 + 20.5889 x 9 + 290.9639 x 6 + 133.1139 x 3 =
= 3507.519/80 = 43.844

Variance S2 = 43.844.



2. Écart-type

2.1. Définition

L'écart-type es égal à la racine carrée de la variance. Il est symbolisée par S.

lorsqu'on utilise la moyenne pour une tendance centrale, on utilise l'écart-type pour meurer la dispersion de la série statistique.

L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne.

Comme l'écart-type met en jeu tous les caractères de la série statistique, il est sensible aux caractères aberrants d'une série satistique.

Dans une représentation graphique, l'écart-type renseigne clairement sur la distribution d'une série statistique. Dans le cas d'une distribution normale, environ:

68 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle [- S, + S]
95 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle [- 2S, +2S]
99 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle [- 3S, + 3S].

Pour une série statistique avec n caractères x (observations), de moyenne m, on a:

S = [Σ(x - m)2/n]1/2

Pour une série statistique avec des effectifs:

S = [Σ(x - m)2f/n]1/2

2.2. Exemple

Pour l'exemple précédent:

La vriance est S2 = 43.844. Donc

l'écart-type est S = [43.844]1/2 = 6.62.








  


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