Mathématiques
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Théorème de Thalès
et sa réciproque
© The scientific sentence. 2010
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Mathématiques 2: Géométrie
Théorème de Thalès
Relations métriques dans un triangle rectangle
Trigonométrie
Triangles isométriques
Triangles semblables et rapport de
similitude
Théorème de Pythagore
En Géométrie, il y a différentes
méthode
de résoudre un problème.
Plate-forme en bois traité
On veut construire un patio dans la cour arrière d'une
maison.
On installe donc une plate-forme constituée
d'une juxtaposition de planches posées en biais.
Les planches se vendent à l'unité et chaque planche mesure
14.4 cm x 365 cm.
La platforme doit couvrir une supérficie de 365 cm x 480 cm.
a) Combient de rangées doit contenir la pateforme
au complet ?
b) On doit commencer à poser les morceaux à partir du coin
haut droit de la plate-forme. Quelles alors
les dimensions du premier morceau?
c) On veut que la plate-forme comporte un minimum de morceaux.
Dans ce cas, chaque rangée en bias ne peut contenir que un
ou deux morceaux. Quel est alors ce nombre minimum ?
d) Combien de planches faut-il acheter pour couvrir
toute la plate-forme?
a)
Par symétrie, Au complet, la plate-forme contient 2 x 20 = 40 rangées.
40 rangées en biais sont requises pour couvrire
la plate-forme de 3.60 m x 4.80 m.
b)
tan α = y /x = 360/480. D'où:
y = 360 x/ 480 = 360 x 24/480 = 18 cm
L'hypoténuse du triangle premier morceau en haut
à droite est √(242 + 182) =
√ 900 = 30 cm.
Premier morceau: coin haut droite :
triangle rectangle:
x = 24 cm
y = 18 cm
Hypoténuse = 30 cm
c)
Une planche mesure 365 cm de longueur. Donc les morceaux que l'on place à partir du coin haut droit jusqu'à la douzième rangée peuvent
être sciés dans une planche.
Ainsi les rangées d'un seul morceau sont en nombre de 12. Chaque rangée
de 1 à 12 comporte un seul morceau.
Il restent alors 20 - 12 = 8 rangées qu'on peut combler
avec deux morceaux: l'un est une planche entière de 365 cm,
l'autre est le reste pour couvrir toute l'hypothénuse
(ou la rangée) correspondante.
Par exemple, pour la 15ème rangée, l'hypothénuse est
égale à 15 x 30 cm = 450 cm.
On couvre donc la 15e rangée avec une planche entière
de 365 m , plus une coupure de 450 - 365 = 85 cm.
Ainsi, chaque rangée de 13 à 20 comporte deux morceaux. Il y a
donc 2 x 8 = 16 morceaux.
Nous avons donc 12 morceaux pour les
rangées de 1 à 12, puis 2 x 8 = 16 morceaux
pour les rangées de 13 à 20.
En tout nous avons 12 + 16 = 28 morceaux dans le triangle
demi-plate-forme. Par symétrie, l'autre motié contient 38 morceaux.
Au total la platforme contient 2 x 28 = 56 morceaux
La plate-forme contient au minimum 56 morceaux.
d)
• L'aire de la plate-forme est 3.60 x 4.80 = 17.28 m2.
• L'aire d'une plache est 0.144 x 3.65 = 0.5256 m2.
Il faut donc 17.28/ 0.5256 = 32.8 planches, soit 33 planches
33 planches sont requises pour couvrir toute la plate-forme.
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