Mathématiques 45: Triangles semblables
Les figures géométriques sont congruentes ou isométriques
si elles ont la même taille et la même forme. Dans cette section,
nous étudierons les figures géométriques qui ont la même forme,
mais pas nécessairement de la même taille. Ces figures
géométriques sont appelés figures semblables ou
similaires.
L'utilisation des triangles semblables a
rendu possible les mesures des hauteurs et
des distances inaccessibles.
1. Figures semblables
Deux figures sont semblables si l'une est un agrandissement,
une réduction ou la reproduction exacte de l'autre.
Dans deux figures semblables, les angles
homologues
sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont
proportionnelles.
Le rapport de similitude est égal au rapport de la mesure d'un côté de la figure image et de la mesure d'un côté de la figure initiale
Rapport de similitude = (mesure d'un côté de la figure image)/(mesure d'un côté de la figure initiale)
2. Triangles semblables
Deux triangles sont semblables si:
(i) leurs angles homologues sont isométriques (ou)
(ii) leurs côtés homologues sont proportionnels.
Ainsi, deux triangles ΔABC et ΔA'B'C'
sont semblables (similaires) si:
(i) ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' (ou)
(ii) A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA
Les sommets A, B et C correspondent aux sommets
A', B' et C' respectivement.
Symboliquement, nous écrivons la similitude
de ces deux triangles comme ΔABC ∼ ΔDEF
et on lit: ΔABC est semblable au ΔA'B'C'.
Le symbole ∼ signifie semblable à.
3. Critères de similitude des triangles
Il y a trois critères qui sont suffisants pour
prouver que deux triangles sont semblables:
(i) Critère de similitude AA (Angle-Angle):
Si deux angles d'un triangle sont respectivement
égaux à deux angles de l'autre triangle,
alors ces deux triangles sont semblables.
Remarque:
Si deux angles d'un triangle sont
respectivement égaux à deux angles d'un
autre triangle leurs troisièmes angles
seront aussi égaux. Ainsi, le critère de similarité
AA est aussi appelé critères AAA.
(ii) Critère de similarité CAC(Côté-Angle-Côté):
Si une angle d'un triangle est isométrique à un angle
d'un autre triangle et si les côtés correspondants
de ces angles sont proportionnels, alors les deux
triangles sont semblables.
(iii) Critère de similarité CCC (Côté-Côté-Côté):
Si les côtés d'un triangle sont proportionnelles
(dans le même rapport) aux côtés de l'autre triangle,
donc leurs angles homolgues sont isométriques;
ainsi les deux triangles sont semblables.
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