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Arithmétique dans Z
Arithmétique dans Z
Égalité de Bernoulli
Primalité de an - bn
On se propose d'étudier la parité du nombre entier naturel :
F(n) = an - bn
n, a, et b ∈ N
En mathématiques et en logique, la contraposition transforme une implication « si A alors B » en
une implication équivalente « si non B alors non A » . La nouvelle proposition
obtenue « si non B alors non A » s'appelle la contraposée de « si A alors B ».
Lorsque ce n'est pas difficile, aussi, on utilise un raisonnement par récurrence sur les n ∈ N.
C'est ce qu'on fait en général pour résoudre ce genre de problème proposé. On démontre par
le moyen de la contraposition. C'est à dire :Si on ne veut pas ou on ne peut pas
démontrer la proposition
p implique q , on démontre plutôt à sa place la proposition contraposée
(non q implique non p) . Alors si la contraposée est vrai, (ou fausse), on en déduira
la proposition initiale est vraie (ou fausse) aussi.
Dans l'exercice proposé, le nombre F(n) = 5n - 3n est toujours pair . À fortiori,
Il n'est pas premier. C'est tout!. On ne peut pas y faire de supppositions.
Le poblème c'est qu'il est présenté dans un cas particulier de avec a = 5 et b = 3 .
f(n) = 5n - 3n n'est pas premier dans toutes les circonstances.
il vaut 2 x (Somme de terms) Il est pair, à fortiori non permier.
Mais on peut considérer la contraposée pour résoudre, plutôt le problème
général du nombre F(n) comme suit:
1) Cas 1: n non premier: n = p x q
p et q ∈ N \{0, 1, n}
an - bn = (ap)q - (bp)q = an - bn x Somme(q) =
(a - b) x Somme(p) x Somme(q) ,
qui est un produit de 3 facteurs. Donc F(n) = an - bn n'est pas premier.
La contraposée est alors vraie: an - bn est premier implique n premier .
Cas 1: n non premier: n = p x q, p et q ∈ N \{0, 1, n}
an - bn est premier implique n premier .
2)Cas 2: n est premier:
an - bn = (a - b) x Somme(n) , qui est un produit de 2 nombres,
donc an - bn n'est pas premier.
La contraposée est alors vraie: an - bn est premier implique n non premier .
Cas 2: n non premier: n = p x q, p et q ∈ N \{0, 1, n}
an - bn est premier implique n premier .
La conbinaison de 10 et 2) donne:
Cas 1 et 2: n ∈ N
an - bn est premier implique n premier .
2)Cas particulier : a - b = 1
n non premier: n = p x q
F(n) = an - bn = 1 x Somme(p) x Somme(q) = Somme(p) x Somme(q)
Produit de deux fateurs: F(n) non premier.
Contraposée: F(n) premier &RArr; premier.
n premier:
F(n)= an - bn = 1 x Somme(n) = Somme(n)
Somme(n) peut être un nombre premier ou non. On ne donc pas conclure.
Quelques exemples:
52 - 42 = 9 non premier implique n = 2 premier
53 - 43 = 61 premier implique n = 3 premier
54 - 44 = 369 non premier implique n = 4 non premier
55 - 45 = 2101 non premier implique n = 5 premier.
-- Abdurrazzak Ajaja
Avril, 2024
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