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Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Inégalités
Exemple
A) Définition
•
La démonstration par récurrence se fait en 3 étapes:
1.Vérifier que la propriété P(n) est vraie à son premier rang,
généralement 0 ou 1.
C'est à dire on vérifie que P(0) est vraie.
C'est l'initialistion.
•
2. Supposer que la propriété est vraie au rang n. C'est à
dire P(n) est vraie.
C'est l'hérédité ou l'héritage.
•
3. Vérifier alors que la propriété est aussi vraie au rang n+1.
C'est à dire que P(n+1) est aussi vraie. C'est la conclusion.
Très rapidement,
P(0) est vraie,
Si P(n) alors P(n+1)
ou
P(0),
Si P(n) ⇒ P(n+1)
veut dire « implique » ou « si …, alors … »
B) Exemple:
On va démontrer par récurrence que l'inégalité suivante est vraie pour tout n
strictement supérieur à zéro, (n ∈ N*).
Donc
P(1),
Si P(n) ⇒ P(n+1)
P(n) : (3/2 + √2)n > 1 + n√2
1. Initialisation:
P(0) ne marche pas. Car (3/2 + √2)0 > 1 + 0 x √2.
L'expression : 1 > 1 est fausse. On commence à partir du rang n = 1.
P(1): (3/2 + √2)1 > 1 + 1 x √2
3/2 + √2 > 1 + √2
1/2 + 1 + √2 > 1 + √2 est vraie
P(1) est vraie.
2. Héritage:
On fait donc une hypothèese de récurrence et on suppose que
P(n) est vraie pour un entier naturel non nul. Alors:
P(n) : (3/2 + √2)n > 1 + n√2
Maintenant, cette inégalité, est-elle vraie pour le rang n+1 ?
C'est à dire :
P(n+1) : (3/2 + √2)n+1 > 1 + (n+1)√2
est-elle vraie ?
C'est ce qu'on va essayer de démontrer.
Partons de p(n) qui est supposée vraie:
P(n) : (3/2 + √2)n > 1 + n√2
Multipliant les deux membres de cette inégalité par le terme positif (3/2 + √2).
Il vient:
(3/2 + √2)n (3/2 + √2) > (1 + n√2 )(3/2 + √2)
(3/2 + √2)n+1 > 3/2 + √2 + (3/2) n√2 + 2n
(3/2 + √2)n+1 > 1 + 1/2 + √2 + n√2 + (1/2)n√2 + 2n
(3/2 + √2)n+1 > 1 + (n+1)√2 + (1/2 + (1/2)n√2 + 2n)
Nous avons n > 0, donc le terme (1/2)n√2 + 2n) est strictement positif, et donc
(3/2 + √2)n+1 > 1 + (n+1)√2. Ce qui veut dire que
la proposition au rang n+1:
p(n+1) : (3/2 + √2)n+1 > 1 + (n+1)√2 est vraie.
et que l'on a démontré l'hérédité.
3. Conclusion:
L'inégalité P(n) : (3/2 + √2)n > 1 + n√2 est vraie
pour tout n strictement positif.
En d'autres mots:
La propriété est vraie pour n = 1. Elle est héréditaire à partir de ce rang,
donc elle est vraie pour tout entier naturel non nul.
C) Application: Expression de P(2n)
On a P(n) : (3/2 + √2)n > 1 + n√2
a) Autre forme pour l'expression P(n):
(3/2 + √2)n > 1 + n√2
(3 + 2√2)n/2n > 1 + n√2
Comme 2n > 0, On a:
(3 + 2√2)n > 2n(1 + n√2)
P(n): (3 + 2√2)n > 2n(1 + n√2) , n ∈ N*
b) Expression de P(2n)
P(n) est vraie pour tout n ∈ N*, pour aussi 2n.
On a donc:
(3 + 2√2)2n > 22n(1 + 2n√2)
((3 + 2√2)2)n > (22)n(1 + 2n√2)
(9 + 12√2 + 8)n > 4n(1 + 2n√2)
(17 + 12√2)n > 4n(1 + 2n√2)
P(2n): (17 + 12√2)n > 4n(1 + 2n√2) , n ∈ N*
-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023
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