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Division euclidienne sur des polynômes

A = {x ∈ Z / (29x - 2x²)/(1 + 2x) ∈ Z } et
B = {x ∈ Z / 15/(1 + 2x) ∈Z }





1. On veut démontrer que A = B .

x ∈ Z

On va prouver alors que A ⊂ B et B ⊂ A.

On a :

a) x ∈ A ⇒ x ∈ B ?

x ∈ A ⇒ (29x - 2x²)/(1 + 2x) ∈ Z .

Avec: (29x - 2x²)/(1 + 2x) = (- x + 15) - 15/(1 + 2x)

On aura:

x ∈ A ⇒ (- x + 15) - 15/(1 + 2x) ∈ Z

On a: (- x + 15) ∈ Z est toujours vraie, puisque x ∈ Z.

Donc

x ∈ A ⇒ 15/(1 + 2x) ∈ Z

15/(1 + 2x) est un élément de B. Donc:

x ∈ A ⇒ x ∈ B

⇒ A ⊂ B

A ⊂ B

b) Inversement, x ∈ B ⇒ x ∈ A ?

x ∈ B ⇒ 15/(1 + 2x) ∈ Z .

Aussi : x ∈ B ⇒ - 15/(1 + 2x) ∈ Z .

(- x + 15) ∈ Z est toujours vraie, puisque x ∈ Z. Alors

x ∈ B ⇒ (- x + 15) - 15/(1 + 2x) ∈ Z .

Avec:
(- x + 15) - 15/(1 + 2x) = (29x - 2x²)/(1 + 2x)
On aura:

x ∈ B ⇒ (29x - 2x²)/(1 + 2x) ∈ Z . Donc

x ∈ B ⇒ x ∈ A

⇒ B ⊂ A

B ⊂ A

A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇔ A = B

2) On veut ecrire A et B en extention:

Que ce soit dans A ou dans B, ensembles parties de Z, on doit toujours avoir (1 + 2x) divise 15 pour que 15/(1 + 2x) appartienne à Z.

Les diviseurs D(15) de 15 dans Z sont :
{- 15,- 5, - 3, - 1,1, 3, 5, 15 }

Donc

(1 + 2x) ∈ {- 15,- 5, - 3, - 1, 1, 3, 5, 15 }

⇒ 2x ∈ {- 16, - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 14 }

⇒ x ∈ {- 8, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 7 }

Ainsi:

A = B = {- 8, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 7 }

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023