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Égalité de deux ensembles

A) Interprétation

Soit

A = {- 2, - 1, 3, 5, 7}    et    B = {- 2, - 1 , 3, 5, 7} ,

Deux ensembles écrits en extension.

Lorsque les ensembles sont écrits en extension, si tous les éléments de A se trouvent dans B et tous les éléments de B se trouvent dans A, on dit que les ensembles A et B sont égaux.
On écrit A = B .

A = B = {- 2, - 1 3, 5, 7}

On voit aussi que A ⊂ B et que B ⊂ A.

B) Définition, ensembles en compréhension

La définition de l'égalité de deux ensembles s'ecrit:

A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A .

C'est à dire:

A = B ⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
et
A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B

Pour prouver que deux ensembles A et B sont égaux, on procède de la façon suivante:

On prouve que : A ⊂ B ET B ⊂ A .
C'est à dire:
x ∈ A ⇒ x ∈ B ET

x ∈ B ⇒ x ∈ A

ou
A = B ⇔ x ∈ A ⇔ x ∈ B

C) Exemple

E = {(x ; √(x +1)) / x ∈ [-1, + ∞[} et

F = {(x² - 1; x) / x ∈ R⁺}

On veut montrer que E = F .

• a) E ⊂ F : x ∈ E ⇒ x ∈ F

On part de: (x ; √(x +1)) ∈ E / x ∈ [-1, + ∞[

On fait un changement de variable: X = √(x + 1) ⇒ x = X² - 1, avec
x ∈ [-1, + ∞[ ⇒ x ≥ -1 ⇒ X ≥ 0 ou x ∈ R⁺

Donc:

(x ; √(x +1)) / x ∈ [-1, + ∞[ =
(x² - 1; x) / x ∈ R⁺

C'est à dire x ∈ E ⇒ x ∈ F .
ou
E ⊂ F

• b) F ⊂ E : x ∈ F ⇒ x ∈ E

On part de: (x² - 1 ; x) ∈ F / x ∈ R⁺

On fait un changement de variable:

X = x² - 1 ⇒ x = + √(X + 1)
( + puisque X ≥ 0)

Avec x ∈ R⁺ ⇒ x² ≥ 0
⇒ x² - 1 ≥ - 1 ⇒ X ≥ - 1 ⇒ X ∈ [-1, + ∞[

Donc:

(x² - 1;x)/ x ∈ R⁺ =
(X; √(X + 1)) / X ∈ [-1,+∞[

ou

(x² - 1;x)/ x ∈ R⁺ = (x; √(x + 1)) / x ∈ [-1,+∞[

C'est à dire x ∈ F ⇒ x ∈ E .

ou

F ⊂ E

Conclusion:

F ⊂ E    et    F ⊂ E ⇔ A = B

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023