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Opérations sur les ensembles

• A ⊂ A
• Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C
• A = B si et seulement si (A &sub: B et B ⊂ A).


Soient A et B deux sous-ensembles 
d’un ensemble E. On a :

1) A ∩ ∅ = ∅ et A ∪ Φ = A
2) A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B
3) A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B
4) A ∪ B = A si et seulement si B ⊂ A
5) A ∩ B = A si et seulement si A ⊂ B

Propriétés de ∩ et ∪  

Soient A, B, C trois sous-ensembles 
d’un ensemble E. On a :

1) A ∪ B = B ∪ A
2) A ∩ B = B ∩ A
3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
4) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)


Propriétés du complémentaire 
(Lois de De Morgan) 

Soient E un ensemble, A, B, C des 
sous-ensembles de E.

1) CE(CEA) = A
2) A ⊂ B si et seulement si (CEB)⊂ (CEA)
3) CE(A ∪ B) = (CEA) ∩ (CEB)
4) CE(A ∩ B) = (CEA) ∪ (CEB)

Soient A et B deux sous-ensembles 
d’un ensemble E. On note:

1 – A\B l’ensemble {x ∈ A | x ∉ B}, 
différence de A et B.
2 – A Δ B l’ensemble (A ∪ B)\(A ∩ B), 
différence symétrique de A et B.


Lorsque l’on a B ⊂ A, la différence de A 
et B est aussi le complémentaire de B dans A.

• B ⊂ A ⇒ A\B = CAB
• A\B = A ∩ Bc
• A ⊂ B si et seulement si A\B = Φ.
• La différence symétrique AΔB est aussi 
égale à (A\B) ∪ (B\A).

• (A\B)\C ≠ A\(B\C).

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023