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Équations du cercle
Équations du cercle
Équation du cercle paramétrée
Exemple
On considère l'équation algébrique d'un cercle suivante :
x2 + y2 - 4(m + 2)x - 2(m - 1) y + 10 m + 9 = 0 (1)
m étant un paramètre réel.
L'ensemble des points M(x,y) qui vérifie cette équation est noté Cm.
Que l'on peut ecrire sous forme canonique ou cartésienne :
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (2)
Ce cercle a pour centre Ω(h,k) et pour raypn r.
H et k sont les coordonnées du centre Ω du cercle C.
Nous allons transformer l'équation (1) pour obtenir l'équation (2):
x2 + y2 - 4(m + 2)x - 2(m - 1) y + 10 m + 9 = 0
x2 + y2 - 2 (2(m + 2)) x - 2( m - 1) y + 10 m + 9 = 0
x2 - 2 (2(m + 2)) x - 2(m - 1) y + 10 m + 9
+ (2(m + 2)) y2 + (m - 1)2 -
(2(m + 2))2 - (m - 1)2 = 0
x2 - 2 (2(m + 2)) x + (2(m + 2))2 +
y2 - 2(m - 1) y + (m - 1)2 + 10 m + 9
- (2(m + 2))2 - (m - 1)2 = 0
En se servant de l'identité remarquable :
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy (3)
On a:
(x - 2(m + 2))2 + (y - (m - 1))2 + 10 m + 9
-(4(m2 + 4m + 4)) - (m2 - 2m + 1) = 0
(x - 2(m + 2))2 + (y - (m - 1))2 + 10 m + 9
- 4 m2 - 16m - 16 - m2 + 2m - 1 = 0
(x - 2(m + 2))2 + (y - (m - 1))2
- 5 m2 - 4m - 8 = 0
(x - 2(m + 2))2 + (y - (m - 1))2
= 5 m2 + 4m + 8 = 0
L'équation canonique paramétrée du cercle est la suivante:
(x - 2(m + 2))2 + (y - (m - 1))2
= 5 m2 + 4m + 8 = 0 (4)
Les coordonnées du centre Ω sont :
h = 2(m + 2)
k = m - 1
Le rayon est:
r = √(5 m2 + 4m + 8)
1. Montrons que l'ensenble Cm représent un cercle, quelque soit le
paramètre m.
La seule contrainte est que le rayon r doit être positif.
Donc : 5 m2 + 4 m + 8 doit être positif.
Ce polynôme a pour discriminant : Δ = 42 - 4 (5)(8) = 16 - 160 =
- 144 est négatif. Il est du signe du coefficient 5 , donc positif.
Ainsi le polynôme 5 m2 + 4 m + 8 est toujours positif
quelque soit le paramètre m.
Conclusion :
Quelque soit la valeur de m , il existe un cercle de
centre Ω(2(m+2); m-1) et de rayon r = √(5 m2 + 4m + 8).
2. Si un cercle Co passe par le point A(1;2), il vérifie alors
l'équation du cercle (1) ou (2).
Dans l'équation (1) , nous aurons, avec x = 1 et y = 2:
12 + 22- 4(m+2)1 - 2(m-1)2 + 10 m + 9 = 0
1 + 4 - 4m - 8 - 4 m + 4 + 10 m + 9 = 0
10 + 2 m = 0
D'où :
m = - 5
L'équation de (1) devient:
x2 + y2 - 4(- 5 + 2)x - 2(- 5 - 1) y + 10 (- 5) + 9 = 0
L'équation d'un cercle unique, c'est à dire non paramétrisée par m est alors:
x2 + y2 + 12 x + 12 y - 41 = 0 (5)
Sous forme canonique:
h = 2(- 5 + 2) = -6
k = - 5 - 1 = - 6
Le rayon est : r = √(5 (-5)2 + 4(-5) + 8)=
√(5 x 25 - 20 + 8)= √(125 - 12)= √(113)=
(x + 6)2 + (y + 6)2 = 113 (5')
3. a) Si le centre du cercle appartient à l'axe des ordonnées,
c'est que son abscisse est nulle. C'est à dire :
k = m - 1 = 0 ou m = 1
Ce cercle aura pour equation:
x2 + y2 - 4(1 + 2)x - 2(1 - 1) y + 10 (1) + 9 = 0
x2 + y2 - 12 x + 19 = 0 (6)
Sous forme canonique:
h = 2(m + 2) = 6
k = m - 1 = 0
r = √(5 x 12 + 4x1 + 8) = √(5 + 4 + 8)
= √(17)
(x - 6)2 + y2 = 17 (6')
b) Si le centre du cercle est l'origine du repère,
c'est que son abscisse est nulle et son ordonnée est nulle
. C'est à dire :
h = 2(m + 2) = 0 et k = m - 1 = 0 ou
m = - 2 et m = 1
Mais m = - 2 = 1 est impossible.
Il n'existe pas de cercle d équation :
x2 + y2 - 4(m + 2)x - 2(m - 1) y + 10 m + 9 = 0,
admetant le repère des coordonnées O(0;0) pour centre.
4. L'ensemble des centres des cercles Cm lorsque m varie dans r est
decrit par ces trois égalités:
Ω : centre des cercles
d'abcisse : h = 2(m + 2)
d'ordonnée : k = m - 1
de rayons: r = √(5 m2 + 4m + 8), m ∈ ℝ
5. Si r = 6, alors: √(5 m2 + 4m + 8)= 6.
C'est à dire :
5 m2 + 4m + 8 = 36 ou
5 m2 + 4m - 28 = 0.
Le discriminant Δ = 42 - 4 (5)(-28) =
16 + 20 x 28 = 576
les deux solutions sont:
m1 = (-4+√576)/2x5 = (-4+24)/2x5 = 2
m1 = (-4-√576)/2x5 = (-4-24)/2x5 = - 2.8
Il existe donc deux cercles de rayon r = 6 et de
centres Ω1 et Ω2:
Ω1(2(2 + 2), 2 - 1) = Ω1 (8,1) et
Ω2 (2(- 2.8 + 2), -2.8 - 1) = Ω1 (-1.6,-3.8)
6. r = √(5 m2 + 4m + 8).
Le polynôme : 5 m2 + 4m + 8 est du signe de 5. Il est
strictement positif.
Ainsi,
Il existe une infinité de cercles d'équation :
et de rayons non nuls r = √(5 m2 + 4m + 8).
7.
Prenons le point évident qui est l'origine des coordonnées O(0;0).
Ce point n'appartient qu'au cercle C-9/10, puisque l'equation
(1) s'ecrit dans ce cas:
(0)2 + (0)2 - 4(m + 2)(0) - 2(m - 1)(0) + 10 m + 9 = 0
C'est à dire : 10 m + 9 = 0 ou
m = - 9/10
O(0;0) ∉ Cm, avec m ≠ -9/10
Conclusion:
Il existe des points du plan qui n'appartiennent à aucun des cercles
de l'ensemble Cm .
8. Montrons que tous les cercles Cm passent par deux points
fixes I(a;b) et J(c;d) du plan.
Ces deux points I et I doivent satisfaire l'équation pricipale des cercles
Cm, c'est à dire:
x2 + y2 - 4(m+2)x - 2(m-1) y + 10 m + 9 = 0
La façon la plus simple d'opérer , c'est de séparer cette équation
en deux équations indépendantes du paramètres m. C'est à
dire de la rendre sous la forme:
x2 + y2 - 4mx - 8x - 2my + 2y + 10 m + 9 = 0
x2 + y2 - 8x + 2y + 9 - 4mx - 2my + 10 m = 0
ou
x2 + y2 - 8x + 2y + 9 - m(4x + 2y - 10) = 0
(7)
Cette équation peut s'ecrire:
E(x,y) + m F(x,y) = 0 (7')
En annulant les deux parties E(x,y) et F(x,y) de l'équation (1), celle-ci s'annule
également. On aura donc un système de deux équations à deux inconnues:
x2 + y2 - 8x + 2y + 9 = 0 (7-1)
4x + 2y - 10 = 0 (7-2)
La relation (7-2) donne: y = - 2x + 5. En la
substituant dans (7-1), on aura:
x2 + (- 2x + 5)2 - 8x + 2(- 2x + 5) + 9 = 0
x2 + 4x2 - 20x + 25 - 8x - 4x + 10 + 9 = 0
5x2 - 32x + 44 = 0 (8)
Le discriminant réduit est :
Δ = (-16)2 - (5)(44) = 36
Les solutions sont donc:
x1,2 = (16 ± 6 )/5
D'où
x1 = (16 + 6)/5 = 22/5
x2 = (16 - 6)/5 = 2
En remplaçant dans (7-2):
x1 = 22/5 ⇒ y = - 2x22/5 + 5 = - 44/5 + 5 = (25 - 44)/5 = - 19/5
x2 = 2 ⇒ y = - 2x2 + 5 = - 4 + 5 = 1
Finalement les points I(x1;y1) et J(x2;y2) sont:
I (22/5; - 19/5) et J(2;1)
-- Abdurrazzak Ajaja
décembre 2023
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