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Analyse

Soit la fonction f définie par :

f(x) = (- x² + 2x + 1)/(x + 1)      (1)

x doit être diffrent de - 1, pour ne pas annuler le dénominateur. Ainsi, le domaine de définition de f doit être ègal à R sauf 1.

D_f = R - {- 1}

1) On évalue les limites suivantes:

a) lim f(x) = lim (- x² + 2x + 1)/(x + 1)
x → -1⁺



Prenons : -1⁺ = - 0.9

lim f(x) =(-(- 0.9)² + 2(- 0.9) + 1)/((- 0.9) + 1) = (- 0.81 - 1.8 + 1 )/(+ 0.1) = - 1.61/0⁺
x → -1⁺
= - ∞

et

-1^- = - 1.1
lim f(x) =(- (- 1.1)² + 2(- 1.1) + 1)/((- 1.1) + 1) = (- 1.21 - 2.2 + 1 )/(- 0.1) = - 1.61/0^-
x → -1^-
= +∞

lim f(x) = - ∞
x → -1⁺

lim f(x) = + ∞
x → -1^-

Les limites de f(x) en x = -1⁺ et en x = -1^- ne sont pas égales ⇒ f n'est pas continue au point x = - 1.

De plus, compte tenu de l'expression du dénominateur x + 1 de f(x. ) la droite x = - 1 est une asymptote verticale pour la courbe C_f de la fonction f .

2) a) f(x) = a x + b + c/(x + 1)      (2)

f(x) = a x + b + c/(x + 1) =
(ax² + bx + ax + b + c ) /(x + 1) =
(ax² + (a + b)x + b + c) /(x + 1)

Comparée à l'expression (1) ,on aura:

(ax² + (a + b)x + b + c) /(x + 1) = (- x² + 2x + 1)/(x + 1)

D'où:

a = - 1 , a + b = 2 et b + c = 1. Il vient :

a = - 1, b = 3 , c = - 2

On peut donc écrire f(x) sous la forme :

f(x) = - x + 3 - 2/(x + 1)

b) On a:

lim f(x) = lim [- x + 3 - 2/(x + 1)] = lim [- x + 3 - 2/(∞ + 1)] = - x + 3
x → + ∞

lim f(x) = - x + 3
x → + ∞

⇒ la droite d'équation (Δ) : y = - x + 3 est une asymptote oblique à la courbe C_f de la fonction f.

On a:

lim [f(x) - y] = lim [- 2/(x + 1)] ≤ 0
x → + ∞
→ La courbe C_f est au dessous de la droite (Δ)

et

lim [f(x) - y] = lim [- 2/(x + 1)] ≥ 0
x → - ∞
→ La courbe C_f est au dessus de la droite (Δ)

3) Variations de la fonction f:

Dérivée de f:

f'(x) = d(- x + 3 - 2/(x + 1))dx = - 1 + 2(x + 1)²

f'(x) = 0 ↔ - 1 + 2(x + 1)² = 0
⇔ (x + 1)² = 2

⇒ x = - √2 - 1 ou x = √ 2 - 1

Tableau de variation:



4) I est le point d'intersection des asymptotes à la courbe C_f

Ces asymptotes sont y = - x + 3 (oblique) et x = - 1 (verticale)

Donc y = - ( - 1) + 3 = 4

I (- 1 , 4 )

Rappel:

Le point I de coordonnées a = - 1 et b = + 4 est le centre de symétrie de la courbe C_f représentative de la fonction f si :
a) Pour tout x de D_f = R - {- 1} a – x ∈ D_f et a + x ∈ D_f
b) f( a – x) + f(a + x) = 2b.

a) a – x ∈ D_f ⇒ a - x ≠ - 1 c'est à dire x ≠ 0
D'où - 1 + x ≠ - 1, donc - 1 + x ∈ ∈ D_f
- 1 - x ≠ - 1

b) f(a – x) + f (a + x) = f(- 1 – x) + f (- 1 + x) =
= - (- 1 - x) + 3 - 2/((- 1 - x) + 1) + - (- 1 + x) + 3 - 2/((- 1 + x) + 1)

= 1 + x + 3 - 2/( - 1 - x + 1) + 1 - x + 3 - 2/( - 1 + x + 1) =

= x + 4 + 2/(x) + 4 - x - 2/( x ) = 2 x 4 = 2 b

Les deux conditions sont vérifiées. I (- 1,4) est le centre de symétrie de la courbe C_f.

5) Intersections de C_f avec les axes:

a) Avec y = 0 (axe x des abscisses) :

On résout l'équation f(x) = 0

(- x² + 2x + 1)/(x + 1) 0 ⇒ - x² + 2x + 1 = 0

Δ' = (1)² - (-1)(1) = 2

x1 = (- 1 - √2) /(- 1) = 1 + √2 (= 2.41)
x1 = (- 1 + √2) /(- 1) = 1 - √2 (= - 0.41)

Soient les points

(1 + √2,0) et (1 - √2,0)

b) Avec x = 0 (axe y des ordonnées) :

On résout l'équation x = 0

Si x = 0 , alors f(0) = (- 0² + 2.0 + 1)/(0 + 1)= 1

Soit le point d'abscisse 0 et d'ordonnées 0, et 1: (1, 0)

-- Abdurrazzak Ajaja
mars 2024