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Équations et ensembles

A. Définitions

Une relation est une correspondance qui, à un élément de son ensemble de départ, associe une image dans l'ensemble d'arrivée .

Une fonction est une relation qui, à un élément de son ensemble de départ, associe au plus une image dans l'ensemble d'arrivée .

Une application est une relation qui, à chaque élément de son ensemble de départ, associe au plus une image dans l'ensemble d'arrivée .

Soit f : A → B une application

1. Surjection

f est une surjection ou que f est surjective si chaque élément y de B est l'image d’un élément de A au moins, c’est-`a-dire si pour chaque élément y de B, l'équation y = f(x) a au moins une solution dans A , ce qui s'écrit :

∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A / y = f(x)

2. Injection

On dit que f est une injection ou que f est injective si la proposition suivante est vraie :

∀ x1, x2 ∈ A: (f(x) = f(x)) ⇒ (x1 = x2)
ou
∀ x1, x2 ∈ A: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

f n'est pas injective si

: ∃ x1, x2 ∈ A : x1 ≠ x2 ∧ f(x1) = f(x2)

c'est à dire si chaque élément y de F est l’image d’un élément de E au plus, ou encore, si pour chaque élément y de F, l'équation y = f(x) a au plus une solution dans E.

3. Bijection

On dit que f est une bijection ou que f est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

∀ y ∈ B : ∃! x ∈ A, / y = f(x).


B. Exemple

Soit f une application défine de R \ {-1} dans R par:

x --> f(x) = x²/(4x + 4)

1) a) On définit la fonction inverse f^-1(y)

y = x²/(4x + 4) ⇒ (4x + 4)y = x²

⇒ x² - 4y x - 4y = 0

Δ^' = (-2y)² - (1)(-4y) = 4y² + 4y (≥0)

Les deux solutions s'ecrivent:

x1 = 2y - 2√(y² + y) et x1 = 2y + 2√(y² + y)

f^-1{y} = {x1, x2} = {2y - 2√(y² + y), 2y + 2√(y² + y)}

f^-1{-1/2} = {x1, x2} = {2(-1/2) - 2√((-1/2)² + (-1/2)), 2(-1/2) + 2√((-1/2)² + (-1/2))} =

{-1 - 2√(-1/4), -1 + 2√(-1/4)} = Φ , puisque √(-1/4) n'est pas défini.

La valeur - 1/2 n'a pas d'antécedant dans le domaine R \ {-1}

Ainsi: ∃ y = -1/2 ∈ R (ensemble d'arrivée), ∀ x ∈ R \ {-1} ( de départ) / y ≠ f(x)

La fonction f n'est pas surjective. En effet, il n'existe pas de réel x appartenant à R \ {-1} tel que f(x) = -1/2

b) f^-1{1} = x1 ou x2

x1 = 2 - 2√2
x2 = 2 + 2√2

f^-1{1} = {x1, x2} = { 2 - 2√2, 2 + 2√2}

∃ x1, x2 ∈ R \ {-1} x1 ≠ x2 et f(x1) = f(x2) . la fonction f n'est donc pas injective

2) Soit g la fonction restriction de la fonction f telle que:

g(x) = f(x) = x²/(4x + 4) de R⁺ vers R⁺

a) Dans R⁺:

• x ≥ 0 ⇒ g(x) ≥ 0 ⇒ 2g(x) ≥ 0

• 2g(x) - x = x²/(4x + 4) - x = x² - 4x² - 4x/(4x + 4) = - 3x² - 4x/(4x + 4) = - x(3x + 4)/(4x + 4) ≤ 0

2g(x) - x ≤ 0 ⇒ 2g(x) ≤ x

Conclusion: 0 ≤ 2g(x) ≤ x

b) Montrons que: ∀ x, y ∈ R^* g(x) = y ⇔ (x - 2y)² = 4(y² + y)

b1) ⇒

∀ x, y ∈ R^* g(x) = y ⇒ ? (x - 2y)² = 4(y² + y)

g(x) = y ⇒ x²/(4x + 4 = y ⇒ x² = 4xy + 4y ⇒ x² - 2(2y) x - 4y = 0 ⇒

x² - 2(2y) x + 4y² - 4y² - 4y = 0 ⇒

(x - 2y)² - 4y² - 4y = 0 ⇒ (x - 2y)² = 4(y² + y) ⇒

L'implication directe ⇒ est vérifiée.

b2) ⇐

(x - 2y)² = 4(y² + y) ⇔ ? g(x) = y

On développe l'égalité :

(x - 2y)² = 4(y² + y) ⇒ x² - 4xy + 4y² = 4y² + 4y ⇒

x² = 4xy + 4y ⇔ x² = y(4x + 4) ⇒ x²/(4x + 4) = y ⇔

L'implication inverse ⇐ est vérifiée.

Conclusion:

Les 2 implication ⇒ et ⇒ sont vérifiées, c'est à dire l'équivalence ⇔ est vérifiée.

c) la fonction g est-elle bijective ?

x ∈ R⁺, y ∈ R⁺ ⇒ x ≥ 0 and y ≥ 0

(x - 2y)² - 4y² - 4y = 0 ⇒

x - 2y = + √ (4y² + 4y) , (- √ (4y² + 4y) est exclu, puisque c'est négatif.) ⇒

x = 2y + √ (4y² + 4y), qui est toujours positif. Nous avons donc:

Pour chaque y de ∈ R⁺ (d'arrivée), il esiste un seul x de R⁺ (de départ) tel que y = f(x).
f est donc bijective.

On va définir maintenant la fonction g^-

g^- (x) = f^-1 (x) de R⁺ vers R⁺.

Nous avons:

g^-(y) = {x1, x2} = { 2y - 2√(y² + y), 2y + 2√(y² + y) } = 2y + 2√(y² + y)

Donc x De R⁺ vers R g^- : x --> g^-(x) = 2x + 2√(x² + x)

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023