Articles
Science and societies
Physique

Partout le théorème de l'énergie cinétique (TEC) ...

1. À la position initiale α_o . Le TEC entre α = α_o où la vitesse initiale de la bille est nulle et α où la vitesse de la bille est v_M, s'ecrit:

(1/2) m v_M² - 0 = m g (ha - h4)     (1)

ha = L cos α et h4 = L cos α_o

La relation (1) devient:

v_M² = 2 g L (cos α - cos α_o)     (2)

ou

v_M = √(2 g L (cos α - cos 40)

g = 10 N/kg
L = 0.8 m
α_o = 40^o
cos 40^o = 0.77


v_M = √(2 x 10 x 0.8 L (cos α - cos 40) = = 4 √( cos α - 0.77)

v_M = 4 √( cos α - 0.77)


2. Le TEC entre la position d'équilibre où α = 0 et α où la vitesse de la bille est v_M, s'ecrit:

(1/2) m v_o² - (1/2) m v_M² = m g (ho - ha)     (3)

v_o² = v_M² + 2 g (ho - ha)

D'après la relation (2):

= 2 g L (cos α - cos α_o) + 2 g (ho - ha)

On a: ho = L et ha = L cos α . Donc:

= 2 g L (cos α - cos α_o) + 2 g L(1 - cos α) =

2 g L cos α - 2 g L cos α_o + 2 g L - 2 g L cos α) =

- 2 g L cos α_o + 2 g L = 2 g L (1 - cos α_o)

Donc:

v_o² = 2 g L (1 - cos α_o)

v_o = √2 g L (1 - cos α_o)

v_o = √ 2 x 10 x 0.8 (1 - 0.77) = 4 √0.23 = 4 x 0.48 = 2

v_o = 2 m/s


3. Le TEC entre la position d'équilibre où α = 30^o et α = 60^o s'ecrit:

EC₃ - EC₆ = m g (h3 - h6)     (4)

À la position α = 60, la vitesse de la bille est nulle, donc son énergie cinétique est nulle. Donc EC₆ = 0.

Il vient:

EC₃ = m g L (cos 30 - cos 60) = m g L ( √3 - 1)/2

EC₃ = m g L ( √3 - 1)/2

EC₃ = 0.2 x 10 x 0.8 ( √3 - 1)/2 = 0.59 J

EC₃ = 0.59 Joules


4. Le TEC entre la position d'équilibre stable où α = 0^o et la position d'équilibre instable où α = 180^o, s'ecrit:

EC₀ - EC₁₈ = m g (h0 - h18)     (5)

On a : h18 = L et h0 = - L . Donc:

(1/2)m v₁₈² = EC₀ - 2 m g L

v₁₈² = 2(EC₀ - 2 m g L)/m = 2EC₀/m - 4 g L

v₁₈ = √ (2EC₀/m - 4 g L)

On a: EC₀ = 2.5 J

v₁₈² = 2(2.5/0.2 - 4 x 10 x 0.8 = 25 - 32 . Nous avons le carré d'une vitesse négative .

Avec cette quantité d'énergie, la bille n'arrivera pas à la position instable.


Remarque



L'énergie cinétique nécéssaire à la bille pour arriver jusqu'à la position d'équilibre instable (α = 180^o), partant de la position d'équilibre stable (α = 0^o) est:

EC_min = m x g x 2L = 2 mgL = 2 x 0.2 x 10 x 0.8 = 3.2 J.

EC_min = 3.2 Joules.

Mais la quantité d'énergie fournie E = 2.5 joules suffira à remonter la bille à peine d'une hauteur h telle que :

2.5 = m g h . Donc

h = 2.5/mg = 2.5 /0.2 x 10 = 1.25 m
= 0.8 + 0.45 .

On a: 0.45 = L cos θ , donc cos θ = 0.45/0.8 = 0.56.

D'où θ = 34^o.

En tout, la bille va tourner vers le haut , dans le sens trigonométrique, d'un angle de 90 + 34 = 125 ^o.

-- Abdurrazzak Ajaja
décembre 2023