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Recurrence et Raionnements logiques

1. Récurrence

∀ n ∈ N\{0,1}; P(n) : ( 1 - 1/2²)(1 - 1/3²) (1 - 1/4²) ... (1 - 1/n²) = (n + 1)/2n

a) Initialisation: n = 2 ⇒ P(2) :
( 1 - 1/2²) =? (2 + 1)/2x2 = 3/4
3/4 = 3/4 VRAIE

b) Hérédité:
On suppose P(n) est vraie. Est elle vraie pour n + 1?

C'est à dire :

( 1 - 1/2²)(1 - 1/3²) (1 - 1/4²) ... (1 - 1/n²)(1 - 1/(n+1)²) =? ((n+1) + 1)/2(n +1) (En remplaçant n par n +1 dans l'expression de P(n))

Membre 1 =? Membre 2?

P(n + 1) : Membre 1 = (1 - 1/2²)(1 - 1/3²) (1 - 1/4²) ... (1 - 1/(n + 1)²) = P(n) x (1 - 1/(n + 1)²) = (n + 1)/2n x (1 - 1/(n + 1)²) =

(n + 1)/2n x ((n + 1)²)-1))(n + 1)² = (n + 1)/2n x (n² + 2n + 1 - 1)/(n + 1)² =
(n + 1)/2n x (n² + 2n )/(n + 1)² = (1/2n x n(n + 2 )/(n + 1) = (n + 2 )/2(n + 1) = (n + 2)/(2n + 2)

Donc:

Membre 1 = (1 - 1/2²)(1 - 1/3²) (1 - 1/4²) ... (1 - 1/n²) = (n + 2)/(2n + 2)

Membre 2 = ((n+1) + 1)/2(n +1) = (n + 2 )/(2n + 2)

Nouns avons Membre 1 = Membre 2

Conclusion :

P(n) est vraie pour tout n ∈ [2, +∞[


2. Démonstration par équivalence succéssive :

a) On vérifie que ∀ x ∈ R 0 < x² - x + 1

On consdère le polynôme P(x) = x² - x + 1 = ax² + bx + c, et son équation quadratique ou équation polynomiale du second degré correspondante P(x) = 0.

Son discriminat Δ = (-1)² - 4 (1) (1) = - 3 < 0 Donc P(x) est du signe de a = 1, donc positif.

Ainsi

∀ x ∈ R 0 < x² - x + 1

Le raisonnement par équivalences successives consiste à trouver une proposition équivalente à celle à prouver. Elles auront alors la même table de vérité.

Exemple:

On va prouver par raisonnement par équivalences successives l'inégalité:

P(x) : |x - 1| ≤ x² - x + 1

On sait que 0 x² - x + 1 < 0 et
|x - 1| ≤ 0 . On élève donc au carré:

⇔ (|x - 1|)x² ≤ (x² - x + 1)x²
⇔ x² - 2x + 1 ≤ x⁴ - 2x³ + 3x² -2x + 1
⇔ x² ≤ x⁴ - 2x³ + 3x²
⇔ 0 ≤ x⁴ - 2x³ + 2x²
⇔ 0 ≤ x²( x²- 2x + 2)
On a x² ≥ 0 et x²- 2x + 2 > 0 , puis qu'on peut l'ecrire (x - 1)x² + 1 et déduire que c'est toujours positif.

Donc :

0 ≤ x²( x²- 2x + 2) est VRAIE

P(x) : |x - 1| ≤ x² - x + 1 est aussi VRAIE par équivalences succéssives.

3. Démonstration par contraposée :



Si la contraposé d'une proposition est vraie, alors la proposition est vraie.

En logique, la contraposition est un raisonnement qui consiste à affirmer l'implication « si non q alors non p » à partir de l'implication « si p alors q ».
L'implication « si non q alors non p » est appelée contraposée de « si p alors q ».

Exemple, la proposition contraposée de la proposition :
« ∀x ≥ 1, ∀ y ≥ 1 : x ≠ y ⇒ (x + 1) /(x² + 1) ≠ (y + 1) /(y²2 + 1)
» est « (x + 1) /(x² + 1) = (y + 1) /(y²2 + 1) , ⇔ x = y ». C'est ce qu'on va démontrer:

(x + 1) /(x² + 1) = (y + 1) /(y²2 + 1)
⇒ (x + 1)(y² + 1) = (y + 1)(x² + 1)
⇒ xy² + x + y² + 1 = yx² + y + x² + 1
⇒ xy² + x + y² - yx² - y - x² = 0
⇒ xy(y - x) + y - (y - x) + y² - x²2 = 0
⇒ xy(y - x) + y - (y - x) + (y - x) (y + x) = 0 ⇒ xy(y - x)(xy - 1 + y + x) = 0

∀x ≥ 1, ∀ y ≥ 1 ⇒ xy ≠ 0 et xy - 1 + y + x > 2 . Le seul terme nul est y - x. Donc

x = y

La contraposée est vraie alors la propositin est vraie.

∀x ≥ 1, ∀ y ≥ 1 : x ≠ y ⇒ (x + 1) /(x² + 1) ≠ (y + 1) /(y²2 + 1)

3. Négation d'une proposition :

La négation de p ⇒ q est (p et non q)

Exemple:

&forall x , y ∈ R : x ≠ y ⇒ (x + 1) /(x² + 1) ≠ (y + 1) /(y²2 + 1)

La négation est:

&forall x , y ∈ R : x ≠ y et (x + 1) /(x² + 1) = (y + 1) /(y²2 + 1)

p : x ≠ y ,
non q = (x + 1) /(x² + 1) = (y + 1) /(y²2 + 1)

⇒ x = y

Donc p et non q sont incompatibles.

Ainsi , la négation de la proposition ∀ x , y ∈ R
x ≠ y ⇒ (x + 1) /(x² + 1) ≠ (y + 1) /(y²2 + 1)
est fausse.
La proposition est alors vraie.

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023