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Trigonométrie
Trigonométrie
Étude de cos (π/5)
Juste appliquer les formules.
La trigonométrie signifie "la mesure trianglaire". Dans un triangle, elle étudie les
distances et les angles notamment. Il y a à peine une dizaine de formules avec lequelles il faut jongler
pour faire toute la Trigo. Plus on en fait, plus c'est facile..
Retenons les identités remarquables suivantes:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +
2ab + 2ac + 2bc (I1)
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
( I2)
Et les formules trigonométriques suivantes:
cos2(a) + sin2(a) = 1 (1)
cos (a + b) = cos(a) cos (b)- sin(a) sin (a) (2)
sin (a + b) = sin (a)cos (b)+ cos(a) sin (b) (3)
cos(2a) = cos2(a) - sin2(a) (4)
sin(2a) = 2 sin (a) cos(a) (5)
-----------------
Calculons cos(2a)
------------------
cos(2a) = cos2 a - sin2 a. D'après (1)
= cos2 a - (1 - cos2 a) = 2 cos2 a - 1
cos(2a) = 2 cos2 a - 1 (6)
cos(2a) = 2 (1 - sin2a) - 1 =
1 - 2sin2a
cos(2a) = 1 - 2sin2a (7)
-----------------
Calculons cos(3a)
------------------
cos(3a) = cos (2a + a) , d'après (2) =
cos (2a) cos(a) - sin(2a) sin(a) .
D'après (6)
= cos(a)(2 cos2 a - 1) - sin(2a) sin(a)
D'après (5)
= cos(a)(2 cos2 a - 1) - 2 sin2(a) cos(a)
D'après (1)
= (2 cos3 a - cos a) - 2( 1 - cos2a) cos(a)
= 2 cos3 a - cos a - 2 cos(a) + 2cos3a
= 4 cos3 a - 3 cos a
cos(3a) =
= 4 cos3 a - 3 cos a (8)
-----------------
Calculons sin(3a)
-----------------
sin(3a) = sin(2a + a) , d'après (3) =
sin (2a) cos(a) + cos(2a) sin(a) .
D'après (5 et 7)
= cos(a)(2 sin a cos a) + (1 - 2 sin2a) sin(a)
D'après (1)
= 2 sin a cos2 a + sin a - 2 sin3a
D'après (1)
= 2 sin a (1 - sin2a) + sin a - 2 sin3a
= 2 sin a - 2 sin3a + sin a - 2 sin3a
= 3 sin a - 4 sin3a
sin(3a) = 3 sin a - 4 sin3a (9)
-------------------
1. Calculons cos(5a)
-------------------
cos 5a = cos (2a + 3a) , d'après (2)
= cos 2a cos 3a - sin 2a sin 3a
D'après (7, 8 et 9)
= (2 cos2 a - 1 ) ( 4 cos3 a - 3 cos a)
- (2 sin a cos a)(3 sin a - 4 sin3a )
= 8 cos5a - 6 cos3a - 4 cos3 a + 3 cos a
- 6 sin2a cos a + 8 sin4a cos a
D'après (1) et sin4a = (sin2a)2 =
(1 - cos2a)2 = 1 - 2 cos2a + cos4a
= 8 cos5a - 6 cos3a - 4 cos3 a + 3 cos a
- 6 (1 - cos2a) cos a + 8 (1 - 2 cos2a + cos4a) cos a
= 8 cos5a - 6 cos3a - 4 cos3 a + 3 cos a
- 6 cos a +6 cos3a + 8 cos a - 16 cos3a + 8 cos5a
= (8 + 8) cos5a + (- 6 - 4 + 6 - 16) cos3a + (3 - 6 + 8) cos a
Finalement,
cos(5a) = 16 cos5a
- 20 cos3a + 5 cos a
cos(5a) = 16 cos5a
- 20 cos3a + 5 cos a
-----------------------
2. Expression de cos(5a)
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Dans la division du polynôme cos(5a) = 16 cos5a
- 20 cos3a + 5 cos a
par le monôme - cos x + 1
Nous avons le quotient suivant:
16 cos4a + 16 cos3a - 4 cos2a - 4 cos a + 1
D'après I1, nous aurons:
(4 cos2a + 2 cos a + (- 1))2 =
(4 cos2 a)2 + (2 cos a)2 + (-1)2 +
2 x 4 cos2 a x 2 cos a + 2 x 4 cos2a x (-1) + 2 x 2 cos a x (- 1)
=
(4 cos2 a)2 + (2 cos a)2 + 1 +
16 cos3 a - 8 cos2a - 4 cos a
=
16 cos4 a + 4 cos2a + 1 +
16 cos3 a - 8 cos2a - 4 cos a
=
16 cos4 a + 16 cos3 a
- 4 cos2a + - 4 cos a + 1
Donc :
cos(5a) = ( - cos a + 1)(4 cos2a + 2 cos a - 1)2
-------------------
3. Equation cos(5a)
------------------
4 x2 + 2 x - 1 = 0 (E)
Avec un chagement de variable, x = cos a, on aura:
4 cos2a + 2 cos a - 1 = 0 . On retrouve donc le deuxième facteur
de l'expression de 1 - cos (5a)
Donc si 4 cos2a + 2 cos a - 1 = 0 , alors
1 - cos (5a) = 0. Cette équation trigonométrique se résoud de la façon suivante :
1 - cos (5a) = 0 ⇔ cos (5a) = 1 = cos( 0 ) ,
⇔
5a = 0 + 2kπ , k ∈ Z
ou
a = 2kπ/5 , k ∈ Z, k = 1 donne a = 2π/5
Donc x = cos a = cos 2π/5 est bien une solution de l'équation (E)
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3.1. Calculs de cos( 2π/5)
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La résolution de l'équation quadratique (E) se fait comme suit:
Le discriminant réduit Δ = (1)2 - (4)(-1) = 1 + 4 = 5
Nous avons donc deux solutions:
x1,2 = (- 1 ± √5)/4
Il vient donc:
(- 1 ± √5)/4 = cos( 2π/5)
2π/5 ( = 72o) se trouve dans le premier cadran du plan trigonométrique, donc
cos( π/5) > 0. On reste donc juste la solution positive:
(- 1 + √5)/4 = cos( 2π/5) = 0.31
cos( 2π/5) = 0.31
-----------------------
3.2. Calculs de cos(π/5)
------------------------
D'après (7) cos(2 π/5 ) = 2 cos2(π/5) - 1
Donc : (cos(2 π/5 )+ 1)/2 = cos2(π/5)
ou
cos(π/5) = √((cos(2 π/5 )+ 1)/2)
= √( (- 1 + √5)/4 + 1)/2)
= √( (3 + √5)/8) = √(0.65) = 0.81
cos(π/5) = 0.81
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3.2. Calculs de cos(π/30)
-------------------------
cos(π/30) = cos(π/5 - π/6) =
cos(π/5) cos(π/6) + sin(π/5) sin(π/6 )
cos (π/6) = √3 /2 = 0.87
sin (π/6) = 1/2
sin (π/5) = √ (1 - cos2(π/5))
= √ (1 - (0.81)2) = 0.59
Donc cos(π/30) = 0.81 x 0.87 + 0.59 x 0.5 )
= 0.99
cos(π/30) = 0.99
-- Abdurrazzak Ajaja
Décembre 2023
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