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Valeur absolue et partie entière

À retenir:

Valeure absolue:

• |y| = + y si y > 0
      = - y si y < 0
• |y| < a ⇔ - a < y < + a

Partie entière: E(y)

• C'est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à y.
Exemples: E(+ 3.25) = 3 , E(- 6.75) = - 7.

Propriétés :
• E(x) ≤ x < E(x) + 1
• E(x + p) = E(x) + p
• E(- x) = - E(x) - 1


Soit F une fonction définie par

F(x) = |2x - E(2x) -1/2| +1/2

1) Montrons que cette fonction est bornée.

Partons de la propriété de la partie entière:

E(x) ≤ x < E(x) + 1

Alors
E(2x) ≤ 2x < E(2x) + 1
⇒ E(2x) - E(2x) ≤ 2x - E(2x) < E(2x) + 1 - E(2x)
⇒ 0 ≤ 2x - E(2x) < 1
⇒ - 1/2 ≤ 2x - E(2x) - 1/2< 1 - 1/2 ⇒ - 1/2 ≤ 2x - E(2x) - 1/2 < 1/2 ⇒

D'après la définition de la valeur absolue:

- a ≤ x < a ⇒ |x| < a

On aura

|2x - E(2x) - 1/2| ≤ 1/2, et
|2x - E(2x) - 1/2| est positive, donc

1/2 ≤ |2x - E(2x) - 1/2| + 1/2 ≤ 1

1/2 ≤ F(x) ≤ 1, ⇒ F(x) est bornée.

Rappel:

On dit qu'une fonction f est bornée sur un intervalle I si elle est à la fois minorée et majorée. C'est à dire s'il existe (m, M) ∈ R² avec m ≤ M tel que ∀ x ∈ I, m ≤ f(x) ≤ M.

2. a) Montrons que E(-x) = - E(x) - 1

On travaille dans l'ensemble R - Z, C'est à dire l'ensemble des nombres à virgules où E(x) ≠ x.

Partons de la propriété :

E(x) < x < E(x) + 1

En multipliant par - 1, on obtient:

- E(x) > - x > - E(x) - 1
- E(x) - 1 < - x < - E(x)
- E(x) - 1 est donc la partie entière de - x = E(- x)

Alors E(-x) = - E(x) - 1

b) Parité de la fonction F:

Rappel: f est une fonction paire si f(-x) = f(x)

F(-x) = |-2x - E(-2x) - 1/2| + 1/2
E(-2x) = - E(2x) - 1. Donc:

F(-x) = |-2x + E(2x) + 1 - 1/2| + 1/2 =
|-2x + E(2x) + 1/2| + 1/2 =
|-(2x - E(2x) - 1/2)| + 1/2 =
| 2x - E(2x) - 1/2 | + 1/2 = F(x)

F est bien une fonction paire.

c) Vérifions que la période est T = 1/2.

F(x + 1/2) = |2(x + 1/2) - E(2(x + 1/2)) - 1/2| + 1/2
= |2x + 1 - E(2x + 1)) - 1/2| + 1/2

On utilise la propriété:

E(x + p) = E(x) + p

Donc:
F(x + 1/2) = |2x + 1) - E(2x) - 1 ) - 1/2| + 1/2
= |2x - E(2x) - 1/2| + 1/2 = F(x)

F(x + 1/2) = F(x) ⇔ F est périodique , de période T = 1/2

3. a) Montrons que F(x) devient - 2x + 1 dans l'intervalle [0, 1/4]

0 < |2x - E(2x) - 1/2| + 1/2 ≤ 1
0 < x ≤ 1/4
0 < 2x ≤ 1/2 ⇔ E(2x) = 0
⇔ F(x) = |2x - 1/2| + 1/2

On note:

|2x - 1/2| = 2x - 1/2 si 2x - 1/2 > 0
⇔ x > 1/4
|2x - 1/2| = - 2x + 1/2 si 2x - 1/2 < 0
⇔ x < 1/4

Nous avons donc :

F(x) = -2x + 1/2 + 1/2 = - 2x + 1

F(x) = - 2x + 1 , dans l'intervalle [0, 1/4]

b) Graphe de la fonction F:

-- Abdurrazzak Ajaja
novembre 2023