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C'est quoi un paradoxe?
C'est quoi un paradoxe?
L'exemple de la dichotomie de Zénon d'Élée
Un paradoxe se trouve dans une expression dépourvue de sens logique. Il traduit une idée qui va à l'encontre de la réalité.
C'est aussi une proposition qui contient une contradiction logique, ou un raisonnement qui conduit à une absurdité.
Exemple: Le paradoxe du Menteur.
Voici sa déclaration:
Cette phrase-ci est fausse.
Si cette phrase est fausse, elle doit être vraie. Si toutefois elle est vraie, elle doit être fausse. Impasse ? non. C'est une declaration qui ne peut être ni vraie ni fausse.
Le problème est une declaration scientifique à résoudre. Au sens familier, c'est tout ce qui est difficile à expliquer ou à résoudre.
Une problématique décrit quel problème doit être résolu dans un ensemble de problèmes liés à un même sujet. Souvent le paradoxe expose une situation problématique.
Un problème peut avoir une solution. Parfois, sa résolution fait l'objet de diverses théories. Le paradoxe ne possède pas de solution.
Le paradoxe contient un mot ou un groupe de mots qui sont à la base de la confusion. En Mathématiques,
les paradoxes nichent souvent dans les expressions des limites en fonction de l'infiniment petit et
de l'infiniment grand. L'infini est déjà un paradoxe à lui seul.
Les Mathématiques et la Physique sont basées sur la logique.
Lorsqu'on fait appel à elles pour expliquer une conviction intuitie érronée, on devient déçu.
Finalement, Les Mathématiques et les Sciences ne résolvent pas les paradoxes.
Pour qu'un paradoxe devienne un problème, donc résoluble ou pas, il faut enlever
l'inopportun de la phrase paradoxe.
Exemple:
Le premier des paradoxes de Zénon d'Élée:
La dichotomie
Ici dichotomie signifie que l’on coupe en deux.
Voici le paradoxe:
Pour parcourir une distance
de longueur "L = 16 m", il faut d'abord parcourir
sa moitié "L/2 = 8 m". Mais avant d'accomplir cette moitié,
il faut parcourir son quart "L/4 = 4 m".
Mais avant d'accomplir ce quart, il faut parcourir
son huitième "L/8 = 2 m", etc. Ainsi le mouvement ne peut
même jamais commencer.
Dans le monde physique réel qui nous entoure, on sait très
bien que ça peut se faire sans problèmes!
Mais ou est le paradoxe ?
Dans la théorie, si on considère qu’il y ait une infinité
de trajets L/2, L/4, L/8, ..., qui s'accompliront chacun
avec un temps non nul, évidemment, l'expérience va durer une
éternité et le mouvement est impossible. Le paradoxe se
trouve dans l'infinité.
On fabrique un paradoxe lorsqu'on veut concevoir du concret
dans l'abstrait, de la réalité dans l'idéal.
Les exemples de dichotomie sont nombreux. Idéalement, On peut penser diviser
une distance ou un temps en une infinité de parties et faire
des calculs sans souvent nuire à la cohérence des Mathématiques.
Mais dès que la Physique, comme le mouvement, vient chercher
des solutions dans l'infini, lui même pardoxal, on tombe
dans l'absurdité.
Les Mathématiques nous assure que la somme infinie des trajets
nous donne la distance de longueur L.
Σ(L/2 + L/4 + L/8 + ...+ L/2n+1 + ...) =
(L/2)Σ(1 + 1/2 + 1/4 + ...+ 1/2n) de 0 à +∞ =
(L/2)lim(1 - 1/2n+1)/(1 - 1/2) à +∞ = (L/2) x 2 = L.
La Physique nous donne exactement le temps nécessaire pour que le
mobile accomplisse une marche de cette distance L = 16 m. Avec
une vitesse moyenne "v" de marche de 5 km par heure, nous
aurons : temps = distance/vitesse = L/v = 16 m/(5000 m/h) =
0.0032 = heures = 11.52 secondes.
-- Abdurrazzak Ajaja
Novembre 2014
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Zénon n'a écrit qu'un seul livre, L'Epicheiremate, dans
lequel il attaque les adversaires de son mentor Parménide.
Les deux premiers paradoxes
de Zénon d'Élée
1. La dichotomie:
Le mouvement est impossible, car avant que l'objet en
mouvement ne puisse atteindre sa destination, il doit
d'abord atteindre la moitié de son parcours, mais avant
d'en atteindre la moitié, il doit d'abord en atteindre
le quart, mais il lui faut d'abord en atteindre le huitième,
etc. Ainsi le mouvement ne peut même jamais commencer.
2. L'Achille:
Achille en pleine course ne pourra jamais rattraper
une tortue marchant devant lui, car il devra avant tout
atteindre le point de départ de cette dernière. Or,
quand il aura atteint ce point, la tortue aura avancé ;
il lui faudra alors atteindre sa nouvelle position, et
lorsqu'il l'aura atteinte, la tortue aura de nouveau avancé,
etc. La tortue sera donc toujours en tête.
Paradoxe de Zenon d'Elée
Cinq cent ans avant Jésus-Christ, Zenon d'Elée a énoncé divers paradoxes qui tendent à prouver que le mouvement est impossible. Donnons ici une version de l'un de ses paradoxes : Achille ne rattrape jamais la tortue après laquelle il court. Pour fixer les idées, supposons qu'Achille et la tortue courrent le long d'une ligne droite, Achille avançant à 10m.s-1, la tortue à 1m.s-1 (ce qui fait beaucoup pour une tortue!). On supposera encore que la tortue à initialement 100m d'avance.
Pour qu'Achille rattrape la tortue, il faut d'abord qu'il atteigne le point de départ de celle-ci. Il lui faut 10s, et la tortue a progressé de 10m. Pour rattraper la tortue, il doit encore parcourir 10m. Mais la tortue a encore avancé de 1m. Achille doit parcourir ce mètre, mais la tortue avance toujours! Et Achille ne pourra jamais rattraper la tortue puisqu'il doit toujours parvenir d'abord au point que la tortue vient de quitter, et celle-ci aura pris un peu d'avance.
Pour éclaircir ce paradoxe, calculons le temps nécessaire à Achille pour rejoindre la tortue. Il lui faut 10s pour parcourir les 100m qui le sépare initialement de la tortue, puis 1s pour parcourir les 10m d'avance qu'elle avait encore, puis 1/10 s; mais la tortue a toujours 1/10m d'avance, et ainsi de suite... Par conséquent, le nombre de secondes qui s'écoulent avant qu'Achille ne rattrape la tortue est :
On obtient une somme comportant une infinité de termes. Ce que Zenon d'Elée n'avait pas prévu, c'est que cette somme infinie possède une valeur finie. Les règles sur les séries géométriques montrent en effet sans peine que la somme précédente fait 11s et 1/9.
La manipulation des sommes infinies (on parle de séries) a très longtemps posé des problèmes conceptuels et philosophiques aux mathématiciens. Le cours de Cauchy à l'Ecole Polytechnique en 1820, pourtant un modèle pour l'époque, comporte encore des erreurs à ce sujet. Il faudra attendre la fin du XIXè s., et les travaux de Karl Weierstrass, le législateur de l'analyse, pour que les règles soient clairement établies.
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3. La flèche:
Le temps se décompose en instants, qui sont indivisibles. Une flèche est soit en mouvement soit au repos. Une flèche ne peut être en mouvement, car pour qu'elle le soit, il faudrait qu'elle se situe à une position donnée au début d'un instant, puis à une autre à la fin du même instant. Ce qui revient à dire que les instants sont divisibles, ce qui est contradictoire. La flèche n'est donc jamais en mouvement. Imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Dans cet instant, la flèche n'a pas le temps de se déplacer elle reste immobile. Aux instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. Si le temps est une succession d'instants et que chaque instant est un moment où le temps est arrêté, le temps ne s'écoule donc pas. La flèche est donc toujours immobile à chaque instant et ne peut pas se déplacer. Considérant le temps comme une suite d'instants successifs, le mouvement est impossible.
4. Le stade:
Considérons les trois rangées ci-dessus : elles sont placées au départ dans la première position. La rangée a reste immobile tandis que les rangées b et c bougent à la même vitesse dans des directions opposées. Lorsqu'elles arrivent à la seconde position, chaque 0 de b a franchi deux fois plus de 0 c que de 0 a. La rangée b a donc mis deux fois plus de temps à franchir la rangée a qu'elle en a mis à franchir la rangée c. Cependant, le temps mis par les rangées b et c à atteindre la position de la rangée a est le même. D'où le paradoxe.
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dialectique = Méthode de raisonnement qui consiste à analyser la réalité en mettant en évidence les contradictions de celle-ci et à chercher à les dépasser.
ZENON D’Elée
Vers - 490 av J.C. à vers - 425 av J.C.
Zénon d’Elée fut le premier grand mathématicien dialecticien. Ses paradoxes
intriguèrent les mathématiciens de tous les siècles.
Zénon naquit dans l’Ile d’Elée vers les 495 avant J.-C. Il fut l’élève du philosophe
Parménide, qu’il accompagna à Athènes en -449. Là, il rencontra Socrate. De retour en Elée,
il commença à faire de la politique pour changer l’ordre des choses et fut arrêté pour avoir
pris part à un complot ourdi contre le tyran Nearchus. Il fut torturé à mort en tant que conspirateur.
Zénon était avant tout philosophe. Aristote lui attribue l’invention de la dialectique. Zénon
n’a écrit qu’un seul livre, L’epicheiremate, dans lequel il attaque les adversaires
de Parménide. Sa renommée lui vient de ses paradoxes.
Seulement 200 mots nous sont parvenus de son livre.
Bien qu’il y ait eu une quarantaine de paradoxes, seulement huit ont pu traverser
les siècles. Leur but était de défendre les idées dialectiques de Parménide.
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Achille et la tortue
Le deuxième paradoxe sur la divisibilité infinie est
connu comme le paradoxe d’Achille et la tortue.
Il s’énonce ainsi :
Achille fait une course avec une tortue. Il lui
donne une longueur d’avance Lo. Lorsqu'il atteint
cette distance L, la tortue a parcouru une distance
L1. Pendant qu’Achille va parcourir cette distance
L1, la tortue va parcourir une deuxième distance L2.
Pendant qu’Achille va parcourir cette distance
L2, la tortue s’éloigne à nouveau. Achille aura
toujours une distance à parcourir pour rejoindre
la tortue, le mouvement est donc impossible.
Ou est le paradoxe ?
Idéalement, subdiviser indéfiniment la disancee qui sépare Achile de
la tortue est correcte. La paradoxe est dans le fait de
mettre cet idéal dans la réalité.
Dans le monde physique réel qui nous entoure, on sait très
bien que ça peut se faire sans problèmes!
Les Mathématiques nous garantissent que la somme infinie des trajets
nous donne la distance de longueur finie L, contrairement à ce
que Zénon considère : ΣLi) i: de 0 à +∞
diverge, ce qui est faut.
De façon symbolique:
Σ(Lo + L1 + L2 + ...+ Ln + ...) =
ΣLi) i: de 0 à +∞ est fini.
Si w est le rapport des vitesses
En Physique, la Cinématique nous permet d'écrire:
La = va . t et Lt = vt . t + Lo
La et Lt sont les distances respectives
parcourues par Achile et la tortue. va et vt
sont leurs vitesses respectives.
Ces distances sont égales lorsque La = Lt
ou va . t = vt . t + Lo. D'où l'on tire le
temps de rencontre tr = Lo/(va - vt)
Avec va = 12 km/h , vt = 0.25 km/h
et Lo = 50 mètres, on aura:
tr = 50 m /(11.75 x 1000 m/h) = 15 secondes.
Achile rattrappera la tortue en 15 seconces
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